aement & fans refte : mais il eft facile de transfor- 

 mer ces quantités en parties aliquotes de la livre ; 

 car 9 f . =: 4 r. + 5 f • parties aliquotes de la livre. 



La preuve de la multiplication fe fait en divifant 

 le produit par un des deux fadeurs, l'autre fadeur 

 doit venir au quotient fi l'opération eil: bien faite ; 

 favoir le multiplicande , fi on a divifé par le multi- 

 plicateur , & le multiplicateur fi on a divifé par le 

 multiplicande. Ou bien mettez, le multiplicateur en 

 la place du multiplicande , & faifant l'opération a 

 l'ordinaire , vous devez retrouver le même produit 

 qu'auparavant: car il eft clair que 6 X 8 ou 8 X 6 

 produifent également 48. 



La mulùplicaùon en croix eft une méthode promte 

 & facile pour multiplier des chofes de différentes 

 efpeces ou dénominations par d'autres de différente 

 efpece aufTi , par exemple des fols & des deniers par 

 des fols & des deniers , des piés & des pouces par 

 des piés & des pouces ; ce qui eft fort ufité dans la 

 mefure des terreins. En voici la méthode, 



^ Piés. pouces. 



Suppofons qu'on ait 5 piés 3 pouces à 5 3 

 multiplier par 2, piés 4 pouces; dites,. _2 4_^ 



2 fois 5 piés font 10 piés , & 2 fois 3 pou- jq 5 

 ces font 6 pouces ; enfuite 4 fois 5 font 20 j g 

 pouces , ou I pié 8 pouces ; enfin 4 fois 3 i 

 font 12 parties de pié , ou i pouce: la — 

 fomme de ces trois produits fera 1 2 piés ^ 



3 pouces. 



On pourroit encore faire cette opération d'une 

 manière affez commode , en coniidérant les pouces 

 comme des fradions de pié ; ce qui réduiroit l'exem- 

 ple propofé à cette forme, 5 piés ^ X 2 piés y ; car 

 3 pouces font le quart d'un pié , &; 4 pouces en font 

 îe tiers ; après quoi réduifant chaque terme à une 

 feule fradion , l'on auroit ^Xt = ^= ^^"t^ 

 = 12 + 4; produit qui revient précifément au même 

 que le précédent , puifque ^ de pié = 3 pouces. 



La multiplication , en Gcomkru , fe fait en fup- 

 pofant qu'une ligne ah {Pl. Géométr.fig.c).^ qu'on 

 appelle décrivante , fe meuve perpendiculairement 

 le long d'une autre , qu'on appelle la directrice ou di- 

 rigsnîe. Voyc^ DÉCRIVANT, &c. 



Par ce mouvement la décrivante forme le reftangle 

 a de h; & fi on divife la décrivante &C la direftrice 

 en un certain nombre de parties égales , on formera 

 parle mouvement autant de petits reftangles qu'il y 

 a d'unités dans le produit du nombre des parties de la 

 ■décrivante par le nombre des parties de la direûrice ; 

 par exemple , ici, 21. /^oy. Directrice. En effet, 

 ■quand la ligne a ù a parcouru une partie àe a d, les 

 trois parties de la ligne a b ont formé trois petits 

 f eâangîes dans la première colonne. Quand la ligne 

 ab 2L parcouru deux parties d^Q ad,\\y a trois re- 

 -dangks nouveaux de plus , & ainfi de fuite. C'eft 

 pour cette raifon que la multiplication s'exprime 

 fouvenî en latin par le mot duHa , conduite ; & c'efl 

 delà que vient aufïi le mot produit. Ainli pour dire 

 que a h q£i multiplié par h c, onà\t ab ducta inh c y 

 parce qu'on imagine qu'une de ces lignes fe meuve 

 -perpendiculairement & parallèlement le long de 

 l'autre , pour former un rectangle : de forte qu'en 

 Ccéamétrie rectangle. & produit font la même chofe. 



Maintenant comme dans toute multiplication l'u- 

 nité eft à un des faûeurs comme l'autre efl au pro- 

 <iuit,on peut faire ainfi la multiplication en lignes. 

 Suppofons qu^on ait ab—x {fig. 10.) à multiplier 

 par a d^ 3. On fera un angle à volonté ; fur un des 

 côtés de cet angle , on prendra la ligne au = i ,Sc 

 fur le même côté on prendra a pour le multiplica- 

 teur ( 3 ) ; enfuite on prendra îur Tautre côté de 

 l'angle a b (2) pour le multiplicande ; on tirera u b^ 

 ^ par le point d la li^ne dç parallèle k a b : je dis 



qwe a c eû égal à 6 , & eft par conféquent îe produit ; 

 car a u : a d '. a b : a c. 



La multiplication algébrique eft beaucoup plus (im- 

 pie que la numérique ; car pour multiplier une gran- 

 deur algébrique par une autre , il ne s'agit que d'é- 

 crire ces quantités les unes à côté des autres fans 

 aucun figne ; ainfi a multiplié par b produit a b ; cd 

 multiplié par m donne cdm : mais pour s'exprimer 

 avec plus de facilité , on obfervera que le figne x li- 

 gnifie multiplié par i & que celui-ci = veut dire égale 

 ou vaut : ainfi axb = ab, lignifient que a multiplié 

 par b égale a b , &c. oii l'on voit que des quantités 

 algébriques font cenfées multipliées l'une par l'au- 

 tre , dès qu'elles font écrites les unes immédiatem.ent 

 à côté des autres , fans aucun ligne ; ce qui eil: une 

 pure convention : mais les grandeurs algébriques 

 font prefque toujours précédées de coëfficiens & des 

 fignes + ou — . j^oyei Coëfficiens & Signe. En 

 ce cas I °, -f 3 c <2? X + 5 ^ — + 1 5 , en di- 



fant-j- x + =H- enfuite 3 X 5 = 15; enfin cdxbm 



— b cdm; enforte que + i-^ b c d m qÛIq produit de 

 ^ cdx+') bm. 



2°. Si l'on a une grandeur négative à multiplier 

 par une grandeur politive , le produit doit être af- 

 feâé du figne — : ainfi — 2 ^ ^ X -f- 3 af=:^ 6abdf, 

 en difant — x + = — ; après cela 2x3—65 que 

 l'on écrira à la fuite du figne bdx af —ab df : 

 le produit total de — 2 <f x + 3 ^î/eft donc — 6 

 ab df, 



3®. Le produit d'une grandeur politive par une 

 négative doit aufTi être affefté du figne — ; c'efl pour- 

 quoi + J^r s x—b dz=, — jifb d r s ; cQ que l'on déter- 

 mine en difant + x — = — : 4 X i (que Ton fuppofe 

 toûjours précéder la quantité qui n'en efl pas ac- 

 compagnée) = 4 : enfin r s x b d=z b dr s. Ainfi le 

 produit de + 4 /" ^ par — h dziz — ^ b d r s ; ce qui 

 fuppofe que -\- x — — ~ nous allons "bientôt le 

 démontrer, 



4°. Deux grandeurs négatives ou affedlées du li- 

 gne — donnent + à leur produit , lorfqu'elles fe 

 multiplient -, — t, b dx — 4,d = -Jf- ii.b'd : & c'efl ce 

 qui ne paroît pas aifé à concevoir. Comment moins ' 

 par moins peut-il donner plus? Examinons la ma- 

 nière dont les fitrnes açiffent les uns fur les autres. 



Démonjiration des règles précédentes. La multiplica- 

 tion des coëfficiens ne fait aucune difficulté ; ce font 

 des nombres qui fe multiplient, comme dans l'Arith- 

 métique ; celle des quantités algébriques efl: de pure 

 convention. Il n'y a donc que la multiplication des 

 fignes qui. mérite une bonne explication ; il faut 

 prouver que + x + = + ; qne ■\- x — — — ; que 

 ~ X H- = — ; que — X — = +. 



1°. + 3 X + 4 doit donner +12; car îe multipli- 

 cateur + 4 étant affeûé du figne + , montre qu'il 

 faut prendre la quantité + 3 pofitive autant de fois 

 qu'il efi: marqué par 4 ; c'eil-à-dire qu'il la faut pren- 

 dre 4 fois telle qu'elle efi: ; or 4 fois x 3 = + 3 + 5 

 -f 3 -f 3 = -{- 1 2 ; ainfi -f x 4- = +• 



2°. + 3 X — 4 = — 12. Remarquez que le multi- 

 plicateur 4 étant affeûé du figne — fait connoître 

 qu'il faut retrancher la grandeur + 3 quatre fois ; or 

 pour retrancher dti pofitif il faut mettre du négatif : 

 on écrira donc — 3 — 3 — 3 — 3=— 12. On voit 

 donc pourquoi -|- x — = — 



3°. — 3X + 4 = — 12; car le multiplicateur 4 

 étant pofitif fignifie qu'il faut prendre — 3 quatre 

 fois , & par conféquent écrire —•3—3—3 — 3= * 



— 1 2 : ainfi — x = — . 



5°. — 3 X — 4 = + 1 2. On doit toûjours fe régler 

 fur le figne du multiplicateur ; fon figne étant néga- 

 tif, le multiplicateur — 4 indique qu'il faut retran- 

 cher — 3 quatre fois : or pour ôter — on écrit + 

 (J^<9ye{ Soustraction.) Donc pour ôter— 3 qua- 

 tre foi3 , pn écrira 3 + 3 -f- 3 -h 3 ^ 4-. Ce n'eil 



