îiqa-e aîambiquée. Pour tâcher d'en découvrir la 

 vraie notion , on doit d'abord remarquer que les 

 quantités qù'on appelle négatives, & qu'on regarde 

 feuffement comme aii-delfous du zéro , font très- 

 fouveiît repréfentées par des quantités réelles , com- 

 me dans la Géométrie, où les lignes négatives dif- 

 férent des pofitives que par leur fitiiation à l'égard 

 de quelque ligne au point commun. Fojg^; Courbe. 

 De-là il eft affez naturel de conclure que les quan- 

 tités négatives qiiQ l'on rencontre dans le calcul, font 

 en effet des quantités réelles ; mais des quantités 

 réelles auxquelles il faut attacher une idée autre que 

 celle qu'on avoit fuppofée, Imaginons , par exemple , 

 qu'on cherche la valeur d'un nombre x , qui ajouté 

 à loo faffe 50 , on aura par les règles de l'Algèbre , 

 X + 100 = 50 , & ;p = — 50 ; ce qui fait voir que la 

 quantité x eft égale à 50, & qu'au lieu d'être ajou- 

 tée à 100, elle doit en être retranchée ; de forte 

 qu'on auroit dû énoncer le problème^ ainfi : troii- 

 ver une quantité x qui étant retranchée de 100 , il 

 refte 50 ; en énonçant le problème ainfi, on auroit 

 100 — 50 , & X = 50 ; & la forme négative de 

 x ne fubfifteroit plus, Ainfi les quantités négatives 

 indiquent réellement dans le calcul des quantités po- 

 fitives , mais qu'on a fuppofées dans une fauffe pofi- 

 tion. Le figne — que l'on trouve avant une quantité 

 fert à redreffer & à corriger une erreur que l'on a 

 faite dans l'hypothefe , comme l'exemple ci-deffus 

 îe fait voir très-clairement, Foyci Equation. 



Remarquez que nous ne parlons ici que des quaii- 

 îités négatives ilolées , comme — a , ou des quantités 

 a — b s dans lefquelles b eft plus grand que a ; car 

 pour celles oîi a — h eik pofitif , c'eft-à-dire où b eft 

 plus petit que a , le ligne ne fait aucune difEculté. 



Il n'y a donc point réellement & abfolument de 

 quantité négative ifolée : — 3 pris abftraitement ne 

 prélente à l'efprit aucune idée ; mais fi je dis qu'un 

 homme a donné à un autre — 3 écus , cela veut dire 

 en langage intelligible , qu'il lui a ôté 3 écus. 



Voilà pourquoi le produit de — ^ par -- b , donne 

 ^ a b : câr a ài b étant précédés du figne ~ par la. 

 fuppofition, c'eft une marque que ces quantités a, 

 h , fe trouvent mêlées & combinées avec d'autres à 

 qui on les compare, puifque fi elles étoient confidé- 

 rées comme feules & ilblées , les fignes — dont elles 

 font précédées, ne préfenteroient rien de net à l'ef- 

 prit.Donc ces quantités — aSc — bmfe trouvent pré- 

 cédées du figne — , que parce qu'il y a quelque er- 

 reur tacite dans l'hypothefe du problème ou de l'o- 

 pération : fi le problème étoit bien énoncé , ces quan- 

 tités — a , — b , devroient fe trouver chacune avec 

 le figne -f , & alors leur produit feroit + ab j car 

 que figmfie la multiplication àc — a par — b , c'eft 

 qu'on retranche b de fois la quantité négative — a : 

 or par l'idée que nous avons donnée ci-deffus des 

 quantités négatives , ajouter ou pofer une quantité 

 négative , c'eft en retrancher une pofitive ; donc par 

 la même raifon en retrancher une négative , c'eft en 

 ajouter une pofitive ; & l'énonciation fimple & na- 

 turelle du problème doit être , non de multiplier — a 

 par — b , mais -f- a par ■\- b ; cq qui donne le produit 

 '\- ab. Il n'eft pas poffible dans un ouvrage de la na- 

 ture de celui-ci , de développer davantage cette idée, 

 înais elle eft fi fimple , que je doute qu'on puiffe lui 

 en fubftituer une plus nette & plus exade ; & je crois 

 pouvoir afiurer que fi on l'applique à tous les pro- 

 ■fclèmes que l'on peut réfoudre , & qui renferment 

 des quantités négatives, on ne la trouvera jamais en 

 défaut. Quoi qu'il. en foit, les règles des opérations 

 algébriqxies fur les quantités négatives , font admifeS 

 par tout le inonde , & reçues généralement comme 

 €X3Ôes , quelque idée qu'on attache d'ailleurs à ces 

 quantités fur les ordonnées négatives d'une courbe , 

 Tome . 



& ïeur fituatîon par rapport aux ordonnées pofîîives* 

 Foyc^ Courbe. 



Nous ajouterons fèuîêment à cê que nous avôfti 

 dit dans cet article , que dans la folution d'un pro« 

 blême géométrique, les quantités /zé^^a^^Vw ne fonè 

 pas toujours d'un côté oppofé aux pofitives; mais 

 d'un côté oppofé à celui oii l'on les a fuppofées dans 

 le calcul. Je fuppofe par exemple , que l'on ait l'é^ 

 quation d'une courbe entre les rayons partant d'un 

 centre ou pôle , que j'appelle j , &£ les angles corref-^' 

 pondans que je nomme {; enforte que y , par exem* 



pîe , = —y;^ évident que Icrfque cof. ^ fe» 

 ra rr: — I , alors û aeû y b ,y fera dans line pofi^ 

 tion direâement contraire à celle qu'elle avoit iorf- 

 que cof. ^ — I , cepend-ant l'une 8^ l'autre valeur d^ 

 y feront fous une forme pofitive dans Téquation*- 

 Mais fi « eft < ^ , alors la valeur algébrique de j 

 fera négative , & y devra être prife du même côté qué 

 quand cof. { = i , c'eft-à-dire du côté contraire à ce^ 

 lui vers lequel on a fuppofé qu'elle devoit être prife. ^ 

 Il fe préfente encore d'autres cas en Géométrie , oit 

 les quantités négatives paroift"ent fe trouver du côté 

 OÙ elles ne devroient pas être ; mais les principes quâ 

 nous venons d'établir , & ceux que nous avons po- 

 fés ou indiqués à Varticlc EQUATION , fufFiront poiif 

 réfoudre ces fortes de difficultés. Nous avons expli-i 

 qué dans cet article en quoi les racines négatives deS 

 équations différoient des racines imaginaires ; c'eft 

 que les premières donnent une folution au problè-^ 

 me envifagé fous un afped un peu différent, & qui 

 ne differt point même dans le fond de la queftion 

 propofée ; mais les imaginaires ne donnent aucune 

 folution poffibla au problème de quelque manierâ 

 qu'on l'envifage. C'eft que les racines négatives, avec 

 de légers changemens à la queftion , peuvent deve- 

 nir pofitives , au lieu que les imaginaires ne le peu- 

 vent jamais. Je fuppofe , que j'aye bby —a3 ^ 

 ou en faifant b= i,y = x3 —a3 ; lorfque x eft < a , 

 y devient négative , & doit être prife de l'autre côté 

 (^voyei Courbe) ; pourquoi cela ? c'eft que fi on. 

 avoit recalé l'axe d'une quantité c, ce qui eft abfo- 

 lument arbitraire , en forte qu'au lieu des co-ordon- 

 nées x,y, on eut eu les co-ordonnées.r telles que 

 lim z~ y -{- c , alors on auroit eu i=c x3 —a3 , 

 & en faifant x a, i n'auroit plus été négative , ou 

 plutôt auroit continué à être encore pofitive pen- 

 dant un certain tems : d'où l'on voit que la valeur 

 négative ào. y x3 — aS , appartient aufti-bien à la 

 courbe que les valeurs pofitives ; ce qui a été déve- 

 loppé plus au long au mot Courbe. Au contraire ^ 



fi on avoit y=z\/xx — aa, &. que x fut <C ^ » 

 alors on auroit beau tranfporter Taxe , la valeur _ds 

 y refteroit imaginaire ; ainfi les racines négatives in- 

 diquent des folutions réelles , parce que ces racines 

 deviennent pofitives par de légers changemens dans 

 la folution ; mais les racines imaginaires indiquent 

 des folutions impoffibies , parce que ces racines ne de- 

 viennent jamais ni pofitives ni réelles par ces raê-^. 

 mes changemens. Foye^ Equàtion & Racine, 



Quand on a dit plus haut que le négatif commencé 

 où le pofitif finit , cela doit s'entendre avec cette ref- 

 tridion , que le pofitif ne devienne pas miaginaire. 

 Par exemple , {oity = xx — aa, il eft vifible que ft 

 X QQ.y a,y fera pofitif , que ûx:=za,y fera = a , 

 & que ûx < a,y fera négatif. Ainfi dans ce cas , le 

 pofitif finit oiiy = 0 , & le négatif commQDCC alors i 



mais fi on avoit j = \/'xx — aa, alors x > adonne 

 y pofitif, 8!Cx=za donne = o ; mais x <^ a donne 

 y imaginaire. 



Le pafi'age du pofitif au négatif, fe fait toujours 

 par zéro ou par l'infini. Soit, par exemple y 

 - fi, on auraj pofitif tant que x >_a ,y négatif ïod* 



