Corollaire. 7. La différence d'un chîfïre à pris fni- 

 vant line valeur reiaîive quelconque au même chif- 

 fre pris , fuivant toute autre valeur relative , ou fiii- 

 vant fa valeur abfoîue , elî un multiple de r— i. 

 Cette différence {y-oy. Ecfielle AîilTHMÉTiQUE) 

 peut être repréfenrée généralement par . . a. r'"-^ 

 rfî. •r'^=::a >< r^ — r^ ; mais la quantité qui multiplie d 

 ^û. ( Umme II, ) un multiple de r—s : donc le pro- 

 duit même , ou la différence qu'il repréfente , Feiî 

 auffi. 



Et ce qu'on dît d'un chiffre pris foliMirement s'zp- 

 plique de foi-même à un nombre compofé de tant de 

 chilTres qu'on voudra ; il eft ctaîr que la différence 

 totale aura la même propriété qu'affeOent toutes & 

 chacune des différences partiales dont elle eft la 

 fomme. 



8. Cela pofé , revenons aux propiiéts citées du 

 ïiom.bre r~ i. 



Première propriété. ÇFqyei-ls. n°. 1.) On peut l'é- 

 noncer ainli : fi pliifieurs chiffres en nombre quel- 

 conque, pris fuivant leur valeur relative , donnent 

 nn multiple de r— i , ces mômes chiffres pris fuivant 

 leur valeur abfolue , donneront auffi un multiple 

 de r — • I . 



Démonflration. La différence des deux- réfultats 

 ciî ( corolL ) un multiple de r — i ; mais (par fup- 

 pofition ) le premier l'eff auffi : donc ( lanmc 1. ) le 

 lecond l'eff pareillement. 



Au refte cette démonffration eft telle que fans y 

 rien changer elle prouve également Yinvetfe. de la 

 proportion. 



Seconde propriété. Foye^-le n°. 5. 



Démonjiradon. En renverfant l'ordre des chiffres 

 on ne fait qu'échanger leur valeur relative ; mais 

 ( coroLl. ) la différence qui réfulte de cet échange eft 

 im multiple de r — i : donc , &t. 



Obfervez que l'objet de cette féconde démonflra- 

 tion n'eil qu'un cas très-particulier de ce qui réfuUe 

 du corollaire ci-dcffus ; il établit la propriété non- 

 feulement pour le cas du limple renverfement des 

 chiffres , mais généralement pour toute perturbation 

 d'ordre quelconque , entière ou partiale:, qu'on peut 

 fuppofer entr'eux. 



9. Il eft clair que tout fous^multîple de r-^i par- 

 ticipera aux mêmes propriétés qu'on vient de dé- 

 montrer pour r I même .... auffi 3 en notre 

 échelle en jouit-il auffi pleinement que c) ; i & 3 

 auffi pleinement que 6 dans l'échelle fepténaire , & 

 I dans toutes les échelles, parce que i eit fous-mul- 

 tiple de tous les nombres. 



10. Mais le nombre ( & ceci doit s'entendre de 

 tout autre r — i ) a encore une autre propriété qui 

 jufqu'ici n'avoit point été remarquée . . . c'eft que la 

 divifion par ^ de tout multiple de c) peut fe réduire 

 à une fimple fouffraâion : en voici la pratique. 



Soit 38^2, ( multiple de c). ) propofé à divifer 



P^'"-9-. ... 



Ecrivez o au-deffus du chiffre qui exprime les uni- 

 tés , & dites , qui de o ou ( en empruntant fur tel 



O 



chiffre qu'il a ppariicndra^qin ào. lo paye 2 ^ ^^-2 



refte §; écrivez 8 à la gauche du o avec un point 

 au-deffus, pour marquer qu'il en a été emprunté 

 ime unité , & qu'il ne doit plus être pris que pour 7. 



Puis dites , qui de 7 paie 5 , refte 2. ; écrivez 2 à 

 la gauche du 8. 



Enfin dites , qui de 2 ou ( en empruntant ) qui de 

 12 paie 8 , refte 4 , écrivez 4 à la gauche du 2 avec 

 tmpoint au-deffus .... & tout eft fait : car 3 — 3 — ;o, 

 montre que l'opération eft confommée ; enlbrte que 

 négligeant le o final , le refte 428 eft le quotient 

 cherché. 



On volt que cette fouftradion eft plus iimpîe me- 

 îiie que l'ordinaire j qui exige trois rangs de chiffre?;;, 

 Tome XL 



tandis ^uè celle-ci rtcn a que deux r ail i'ellé eîlé 

 porte auffi fa preuve avec elle ; car iî l'on ajoute ( eni 

 biaifant un peu ) le dernier chiffre du nombre infé'* 

 rieur avec le pénultième du fapérieur,ie pénultième 

 de cejui4à avec l'antépénultième de celui-ci , & ainii, 

 de fuite , la fomme vous rendra le nombre fupéfieuf 

 même , s'il ne s'eft point gliffé d'erreur dans l'opé* 

 ration, 



I î . La f aifon de cette pratique deviendra fehiibîéj,' 

 ft l'on fait attention que tout multiple de 51 peut lui* 

 même être conçu comme le réfukat d'une fouftrac* 

 tion.Eneffet,428x 9 = 428 X 10 — ï ^^l'^o — 

 ce qu'on peut difpofer ainfi : 4280 . , . s 



^v.. 428 ... //2 



385^ . » . 7 



riommant s îe nombre fupérieur , m celui du milieii ^ 

 j l'mférieur. Il fuit de la difpofition des chiffres qu^ 

 le dernier de rri eft îe même que le pénultième de 5^ 

 le pénultième de m le môme que rantépénulriemé 

 de 5 , &c. 



Maintenant îe nombre 7 étant pfopofé à diVîfel* 

 par C) ,^ il eft clair ( conftruâion ) que le quotient 

 cherché eft le nombre mais ( encore par conftr,) 

 j:=s^m; d'oi! m= s—j ^ & voilà la fouftradlioa 

 qu'il eftqueftion défaire ; mais comment y~procé- 

 der , puifque s , élément néceffaire ^.nt£t point 

 connu , 



Au-nioins en connoit-on le dernier chiffre , qui efl 

 toujours o : on peut donc commencer la fouftradion. 

 Cette première opération donnera le dernier chiffré 

 àt m — fuprà^ au pénultième de s ; celui-ci fera 

 trouver le pénultième de/;z = à l'antépénultième de 

 j- , & ainfi de l'un en l'autre , le chiffre dernier trouvé 

 de m étant celui dont on a bcfoin dans s pour conti- 

 nuer l'opération. 



Dans l'addition qui fert de preuve à la règle , c'eii 

 îe nombre 7 qu'on ajoute au nombre m , ce qui évi- 

 demment doit donner le nombre s ; car puifque 

 7 = ^ — ^ , il fuit que j -\- m s. 



1 2. Obfervez ( dernière figure ) que dans la fouf-^ 

 traftion employée pour multiplier 428 par 5) ,il fe 

 fait deux emprunts , l'un fur le 8 , l'autre fur le 4 , & 

 que d'un autre côté la fomme des chiffres du multi- 

 ple 3852 eft 18 , ou g pris deux fois , ce qui n'eft 

 point un hafard , mais l'effet d'une loi générale. La, 

 fomme des chiffres du multiple contient c) autant ds- 

 fois qu il y a eu d'emprunts dans la fouftraclion qui a 

 lervi à le former. On en verra plus bas la raifon, 



13. Il fuit que li la fouftradion s'e7i:écuîoit fans 

 faire d'emprunt, la fomme des chiffres du multiple 

 feroit = 0 , conféquence révoltante par l'imagina- 

 tion , mais qui , entendue comme il faut, malgré la 

 contradiftion qu'elle femble renfermer , ne laiiTepas 

 d'être exaâemeaî vraie. 



Pour s'en convaincre , que daiis îè rnêmé exerhpïe 

 aux chiffres on fnbftitue des lettres , ou fimplement 

 quelaiffant fubfifler les chiffres, on procède à la fouf^ 

 tradion par la méthode algébrique j on aura 



4 



ô 

 8 



4. 2—4. 8— -2. 



Le réfuîtat qui repréfente le multiple contient 

 quatre termes , diftingués entr'eux par des points ^ 

 nommant (relativement au rang ) pairs les fécond & 

 quatrième , 6i impairs les premier & troifisme ; fî 

 l'on fait féparément la fomme des ternies pairs &S 

 celle des impairs , la première fera 2 — 4. -- 8 , &i 

 la féconde -f- 4. -f8 — 2 : o\\ l'on voit que les nie-» 

 m.es chiffres font contenus dans l'une & dans l'autrë 

 fomme , mais avec des lignes contraires ; enforta 

 que n l'on yient à ajouter les deux foinmes enfembie^ 



P ij 



