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fftfqu^îd écKap^é aux obfefvateurs. Cô fofit, |)ôuf 

 le iiombre,& pour le fonds, précifément les mêmes 

 que celles de /îèa/, {\ ce n'eft qu'elles fe manifeflent 

 en fens contraire , comme cela devoit être. Dâns 

 îe développement qu'on en va faire , on aura foin 

 de rapprocher chacune de celle qui lui correfpond 

 pour le nombre muf^ afin de faire mieux connoître 

 ce qu'elles ont de commun & en- quoi elles diffé- 

 rent. 



Au refle , tout ce que nous dirons de <?7z{é doit 

 s'entendre de tout autre r + i , c'ell-à-dire ( r repré- 

 fentant la racine d'une échelle arithmétique auel- 

 conque ) , de tout nombre qui occupe refpeûive- 

 ment le même rang dans fon échelle particulière , 

 que notre 1 1 occupe dans la fienne. Je dis nom 1 1 , 



parce que 1 1 eftl'expreffion numérique de r+ i com- 

 mune à toutes les échelles. 



3 Prcmicre propriété» La divifion par ii de tout 

 multiple de 1 1 peut fe réduire à une fimple fouftrac- 

 tion : en voici la pratique. 



Soit 4708 ( multiple de 1 1 ) pro- 

 pofé à divifer par 1 1< 



Ecrivez o au-deffoiis du chiffre qui r 4708 

 exprime les unités , & dites : qui de 24280 

 8 paie o , refte 8 ; écrivez 8 à la gau- 

 che du o que vous avez pofé. 



Puis dites : qui de o , ou ( en empruntant ) qui 

 de 10 paie 8 , refte z ; écrivez 2 à la gauche du 8. 



Enfin dites : non , qui de 7 , mais ( à caufe de 

 l'emprunt) qui de 6 paie z , relie 4 ; écrivez 4 à la 

 gauche du 2 ... & tout eft fait : car 4— 4 = 0 mon- 

 tre que l'opération efl confommée. De forte que né- 

 gligeant le o final , le refte 428 efl le quotient cher- 

 ché. 



Pour la preuve ; additionnez enfemble les chiffres 

 du nombre inférieur , les prenant deux à deux, cha- 

 cun fuccefTivement avec celui qui le précède vers 

 la gauche , jufqu'au dernier qui s'emploie tout feul , 

 n'en ayant point au - delà avec qui s'apparier : la 

 fomme doit vous rendre le nombre fupérieur , s'il 

 ne s'efl point gliffé d'erreur dans l'opération. 



4. La raifon de cette pratique deviendra fenfibîe , 

 fi l'on fait attention que tout multiple de 11 peut 

 être conçu , comme le réfuk at d'une addition. En 



effet,428x ii=428x IQ+ i =4280-1-428. Ce que 

 l'on peut difpofer ainfi 



4280 /. 

 4- 4 X ^ m. 

 4 7 o S j. 



Nommant /le nombre rupérîeur , ni celui du mi- 

 lieu , y l'inférieur ; il fuit de la difpofition des chif- 

 fres que le dernier de m eft le même que le pénul- 

 tième de/, le pénultième de m le même que i'an- 

 îépénultieme de /, &c. 



Maintenant le nombre j étant prOpofé à divifer 

 par I ï , il efl clair ( conftrudion ) que le quotient 

 cherché efl le nombre 772. Mais ( encore par conf- 

 truaion)y=i:/-f 7;z; d'où //z =/ -/;& voilà la fouf- 

 îraûion qu'il efl queflion de faire ; mais comment 

 y procéder , puifque/, élément néce flaire , n'efl 

 point connu ? 



Au rnoins en connoît-on le dernier chiffre , qui 

 efl toujours o : on peut donc commencer la fouf- 

 tradion. Cette première opération donnera le der- 

 nier chiffre m, — {fuprà) au pénultième de /; ce- 

 lui-ci fera trouver le pénultième de /tz, s= à l'antépé- 

 nultième de /; & ainfi de l'un en l'autre , le chif- 

 fre dernier trouvé de m étant celui dont on a be- 

 foin dans /pour continuer l'opération. 

 ^ L'addition qui fert ici de preuve à la règle efl , fi 

 Ton veut y faire attention , précifément la même 

 qui a formé le multiple : il n'efl donc pas étonnant 

 Tom^ XL 



0 N 2: ^9 



Qu'elle le rêhae. C'efl au fonds fqvLon ajoute à m t 

 or/+w=/. Il efl vrai que / & m ibnt mêlés enfem^ 

 ble & fondus dans le même nombre ; mais l'opéra-^ 

 îion même les démêle^ 



5. La divifion par îi dé tout multiple de lî ^ 

 kufîî bien que îa divifion par 9 de tout multiple de 

 9 , peut donc fe réduire à une fimple foiiflratlion t 

 mais elle fe fait pour l'un & pour l'autre en fens 

 contraires. Elle efl pour 9 . . /— J 



pour II.. y -/ 



Là le premier o ( qui efl comme la clé de l'opé^ 

 ration ) le place au'dejfus du multiple : ici il fe placé 

 au-de£ous. '■ 



6. Avant que d'énoncer la féconde propriété, j'ct'- 

 vertis que la dénomination de chifl'res pairs & de 

 chiffres impairs, y efl relative au rang que chacun 

 occupe dans une fuite d'autres chiffres , fans nul 

 égard à fa valeur propre. Ainfi ( fuppolànt qu'on 

 compte de gauche à droite ) dans 2176 , 2 & 7 

 font les chiffres impairs , i ôc 6 les chiffres pairs. 



7. Seconde propriété. En tout multiple de ii , fi 

 l'on fait féparément h fomme des chiffres pairs &: 

 celle dès impairs , ou ces deux fômmes font égales, 

 ou leur différence efl un multiple de 1 1 . . . comm.e 

 réciproquement tout nombre , tel que la fomme des 

 chiffres pairs y fbit égale à celle des impairs, ou quç 

 leur différence foit un multiple de 1 1 , exprime lui- 

 même un multiple de 11 ; c'eff ce qu'on voit d'abord, 

 en 572^:^1 1 X 52. ... où 5-î- 2=7 



en 4708=11x428 où 7+8— 4-1-0=: 1 5—41=1 1 



De même fi l'on écrit au hafard une fuite de chiA 

 fres en nombre quelconque , pourvu feulement que 

 la fomme des chiffres pairs y foit égale à celle de<5 

 impairs , du que leur différence foit un multiple de 

 1 1 , comme 77 , 90904 , &c. on efl affuré que le 

 nombre réfultant fe divife exatlement par 1 1. 



8. Pour démontrer la propofition directe , il fufiiî: 

 de fubûituer dans la figure du n°. 4 , au lieu des 

 chiffres qui s'y trouvent, les indéterminées a ,h ^ c ^ 

 qui les rcpréfentent d'une manière générale : on aura 



a. b. c. * (L'aflérifque tient ici la pla:- 

 -|- . . . ^. h. c. ce du Ojqu'onn'apointvoa- 

 'âl a-^b. b-^c. c, l"-^ mêler avec des lettres , 



crainte d'équivoque» 

 On voit que la fomme des termes pairs efl exa£le- 

 tement Id même que celle des impairs ; &: que ce 

 fera la même chofe , en quelque nombre qu'on veuil- 

 le fuppofer les lettres de la quantité à multiplier : 

 c'efl une fuite néceffaire de la formation du mul- 

 tiple. 



Un feul point pdurroit caufer quelque fcrupuîe ; 

 les deux termes extrïmes , fontfimpies , ou ne con- 

 tiennent qu'une feule lettre. Cette circonflance , il 

 efl vrai , ne peut tirer à conféquence , quand l'un, 

 des deux appartient à la fomme des pairs, & l'au- 

 tre à celle des impairs , comme dans l'exemple pré- 

 fent ; on voit bien qu'il en doit réfulter le même 

 nombre de lettres de part & d'autre. Mais quand 

 tous les deux fe trouvent du même côté ( comme il 

 arrive toutes les fois que les termes du multiple font 

 en nombre impair) , il femble que ce côté doit pé- 

 cher par défaut .... au conttaire , c'efl précilément 

 ce qui conferve l'égalité. Car, les termes du înulti- 

 ple étant en nombre impair , il y a nécefrairement 

 un côté qui a un terme de plus que l'autre; & com- 

 me c'efl toujours le côté des impairs ( auquel d'ail- 

 leurs appartiennent les deux extrêmes ) , il fe trou- 

 ve que deux termes fimples figurent vis-à-vis d'un 

 double ; c'eil ce qu'on voit en cet autre exemple : 

 a. b. * 

 a. b. 



a. a-\-b. b. 



9. Il paroît réfulter de eette démonflraîion , qug 



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