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les deux fommes devroient toujours être égales : ce 

 -qui n'ert pas pourtant. Mais on doit faire attention 

 que , quand la fomme de deux chiffres ( repréfen-- 

 îés ici par deux lettres ) excède 9 , on renvoie une 

 unité au chiffre de la gauche , ne retenant pour ce- 

 lui fur lequel on opère que l'excès de cette fomme 

 au-deffus de 10. Celui-ci y perd donc 10 , tandis 

 que fon voifm y gagne i : la différence doit donc 



être 10 + I ou II. 



Comme en faifant la fomme des différentes co- 

 lonnes , il peut arriver que le renvoi d'une unité 

 au chiffî'ê de la gaudie ait lieu plufieurs fois ; s'il fe 

 fait conftamment au profit des chiffres d& même nom^ 

 foit pairs , foit impairs , il efl vifible que la diffé- 

 rence des deux fommes ne fera plus fimplement 1 1 , 

 mais un multiple de 1 x , déterminé par le nombre 

 îiîême des renvois. 



Si les renvois fe font partie au profit des chiffres 

 pairs , partie au profit des impairs , ou ils font en 

 nombre égal de part j& d'autre , & alors , tout fe 

 trouvant compenfé , l'égalité rigoureufe fe main- 

 tient entre les deux fommes ; o« ils ne le font pas , 

 & alors le multiple de 1 1 qui confliiue la difiéren- 

 ce efl: déterminé par la différence des deux nombres 

 qui expriment celui des renvois faits au profit des 

 chiffres de différent nom. 



10. Au refle , fur l'in^peftion feule du nombre 

 propofé à multiplier par 1 1 , il efl aifé de détermi- 

 ner combien il y aura de renvois dans l'addition 

 qui fert à cet effet ; & par une fuite de juger quel 

 rapport auront entr'elles dans le multiple même la 

 Ibmme des chiffres pairs & celle des impairs ; fi 

 elles feront égales 5 ou ( dans le cas d'inégalité ) de 

 quel multiple de 1 1 elles différeront. Pour cela , 

 appariant fucceffivement chacun des chiffres du 

 nombre propofé avec celui qui le précède vers la 

 gauche , autant de fois que la fomme de deux chif- 

 fres pris de cette manière excédera 9 , autant il y 

 aura de renvois (s'entend que , quand il y a ren- 

 voi d'une fomme précédente , il faut augmenter 

 d'une unité la fomme fubléquente ). On verra donc 

 au premier coup d'œil que pour 43 5 , il n'y aura 

 point de renvoi , & conféquemment que dans le 

 multiple les deux fommes feront égales ; cpe pour 

 8264 , il y en aura deux , qui étant l'un & l'autre 

 au profit des chiffres de même nom ( ce qu'on re- 

 connoît encore par la difpofition des chiffres ) don- 

 neront pour la différence des deux fommes dans le 

 multiple IIX2 ou 22, ê-c. 



1 1. Pour démontrer la propofition invcrfe. ( voye^ 

 h n^. 7. ) qu'un nombre quelconque , conditionné 

 comme il y efl dit , foit repréfenté généralement par 

 fl. a-\-b, b-\-c. c , & qu'on y applique la méthode 

 de fouflraaion e xpofée , rP. 3 ; i l fe réfoudra en 

 deux quantités , a. b, S>L a. b. c , dont l'une efl 

 décuple de l'autre. Il en étoit donc la fomme : mais 

 la fomme de deux femblabies quantités efl un mul- 

 tiple de I ï . 



Ce raifonnement paroît encore ne conclure que 

 pour le cas d'égalité entre les deux fommes . . . mais 

 fi la différence efl 1 1 ou l'un de fes multiples , en 

 appliquant la fouflraâion , il y aura des emprunts à 

 faire fur les termes excédens au profit des défiiil- 

 lans , plus ou moins , félon le multiple. Chaque em- 

 prunt fera perdre une unité à l'excédent ,^ & aug- 

 mentera de 10 le défaillant ; ce qui fera évanouir 

 la différence , & ramènera les chofes au cas d'éga- 

 lité .... Ce défaut apparent dans la démonflration 

 ne provient donc que de fa généralité même , & 

 de ce qu'elle efl antérieure au choix de toute mé- 

 thode particulière de calculer. 



1 1. En tout multiplie foit de 9 , foit de 1 1 , fi l'on 

 fait féparément la fomme des chiffres pairs & celle 



des impairs ; c*eft ( pour 9 ) /^z fotrmi, tôtàlè de 

 deux fommes qui efl un multiple de 9 :;&;,(:pour i; i ) 

 e'efl Uur différence , quand elles différent;, qui efl un 

 multiple de 1 1 . - . . • 



Troijieme propriété, r Si l'on renverfe l'ordre deS 

 chiffres qui expriment im nombre quelconque, la 

 différence & la fomme du nombre direct & du nom- 

 bre rmverfé , font des multiples à^' } i; .la_4'fférmcei , 

 quand les chfî'ires du nombre propofé font en nom- 

 bre impair; la fomme y quand ils font eri nombre 

 pair. Par exemple ^ 

 826-628=198 : or 198=1! 



824-28 =HQ:oi' 110=10 



1 1 



fans re/ie, parce que le nombre des chifres de 826 eÛ 

 impair j 82 efl pair. 



La démonflration dépend des deux propofitions 

 fuivantes. 



14. Lemmc 1. La différence & la fomme de deux 

 puifl'ances quelconqùes de la même racine font des 

 multiples de cette racine augmentée de l'unité ; la dif- 

 férence , quand celle des expofans des deux puifTan- 

 ces efl un nombre pair : la fomme, quand la différen- 

 ce des expofans des deux puiffances efl un nombre 

 impair. Pour la preuve , voye:^ l'article Exposa'nt. 



Lèmme II. ( Par chiffres correfpondans il faut enten- 

 dre deux chiffres pris en un nombre quelconque à 

 égale diflance du milieu chacun de fon côté ; com- 

 me font d'abord les extrêmes, puis les deux les plus 

 voifins de ceux-ci , &c^. 



15. En tout nombre , la différence des expofans 

 des deux puiffances de 10 ( ou plus généralement de 

 r) , qui y déterminent la valeur relative de deux 

 chiffres correfpondans quelconques , efl: d^un nom 

 if^jfi/re/z/ de celui du nombre total des chiffres ; c'efl- 

 à-dire paire quand celui-ci eft impair, & récipro* 

 quement. 



En effet, que a j"^ & h.r^ repréfentent la valeur rela- 

 tive des deux chiffes extrêmes aU.b d'un nombre 

 quelconque, dont le nombre total des chiffres (■vcje^ 

 ÉCHELLE arithmétique) , fera par conféquenc 

 frh\^ ; il efl évident que m — n — m — o— /«efl: d'un 



nom différent de m-^\. Il n'efl pas moins clair que , 

 pour tous autres deux chiffre s corr efpondans tirés 

 par ordre du même nombre , m—n fera dans le mê- 

 me ordre m-^ , //z— 4 , m— 6 , &c. fuivant une pro- 

 areffion arithmétique dont 2 efl la différence: chaque 

 t^erme y fera donc de même nom que le premier m , 

 & par une fuite d'un nom- différent de m— i . 



16. Cela pofé , quand on renverfe l'ordre des 

 chiffres qui expriment un nombre quelconque , on 

 ne fait qu'échanger la valeur relative des chiffres 

 correfpondans ; en forte que.^z.r^ & b.r^ deviennent 

 ^z.r" bj"^. Maintenant fi l'on ôre cette ieconde 

 quantité delà première , ou fi on les ajoute enfem- 

 ble , on aura ( toute dédudion faite , & iuopo fant 

 > ^ & 772 > , la différence = — ^ x 7'» — r« & la 

 fomme —a-\-by^ 7"» + r« ; mais s'il s'agit de la difé- 

 rence, lê 2^ fafteur r^ — r'^ (.& par une fuite le pro- 

 duit même) efl ( lemme I. ) un multi ple de r-}- i ou 

 de II , quand m—nt^ pair ; & m—n efl pair ( lein- 

 me II.) quand les chiffres du nombre propofé IbnÊ 

 en nombre impair. 



Pareillement , s'il s'agit de la fomme, le 1^ fa£leur 

 r« -|- 7- efl ( lemme I. ) muh iple d e r + i ou de 11 , 

 quand m — n efl impair; Um-n efl impair ( lem- 

 me IL ) , quand les chiffres du nombre pris pour 

 exemple font en nombre pair. 



La troifieme propriété fe trouve donc prouvée 

 dans fes deux parties. Car ce qui vient d'être dit de 



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