bres , qui feroit parallèle à un certain point de vue ^ 

 ne le feroit plus à un autre. Quoi qu'il en foit , nous 

 fouhaitons que les nouvelles vues que nous venons 

 de donner pour la foiution de cette queftion , exci- 

 tent les Phyficiens à faire des expériences pour véri- 

 fier notre principe , & pour donner à cet égard un 

 nouveau degré d'accroiiTement à la théorie de la vi- 

 fion. 



J'avois fini cet article depuis plufieurs années , 

 comme il me feroit aifé de le prouver , lorfque 

 M. Bouguer lut à l'académie des Sciences un écrit fur 

 le mêmefujet, qui contient au fond les mêmes princi- 

 pes ; & je dis pour-lors de vive voix à l'académie , 

 îans prétendre rien ôter à M. Bouguer, que j'avois 

 trouvé comme lui, &par les mêmes raifons , que les 

 lignes cherchées dévoient être deux lignes droites di- 

 vergentes. Le mémoire de M. Bouguer n'eft point en- 

 core imprimé au moment où j'ajoute ces dernières li- 

 gnes au préfent article , c'eft-à-dire , en Décembre 



PARALLELOGRAMME , f. m. en Géométrie , 

 c'eft une figure reâiligne de quatre côtés , dont les 

 côtés oppofés font parallèles & égaux. F yjei Qua- 

 drilatère. 



Le parallélogramme eû formé , ou peut être fup- 

 pofé formé par le mouvement uniforme d'une ligne 

 droite toujours parallèle à elle-même. 



Quand le parallélogramme a tous fes angles droits , 

 & feulement fes côtés oppofés égaux, on le nomme 

 rectangle ou quarré long. F oye^ RECTANGLE. 



Quand les angles font tous droits , & les côtés 

 égaux, il s'appelle quarré. Foye^ QuarrÉ. 



Si tous les côtés font égaux , & les angles iné- 

 gaux, on l'appelle rhombe ou lofange. Voye^^ Rhom- 

 BE (S- Losange. 



S'il n'y a que les côtés oppofés qui foient égaux , 

 &: les angles oppofés auffi égaux , mais non di'oits , 

 i^tÇtv,.Vi rhomboïde. Foyei RHOMBOÏDE. 



Tout autre quadrilatère , dont les côtés oppofés 

 ne font ni parallèles ni égaux , s'appelle un trapèze. 

 Foye^ Trapèze. 



Propriétés du parallélogramme. Dans tout parallé- 

 logramme , de quelque efpece qu'il foit , par exem- 

 ple , dans celui-ci A B C D (^Planches géomet.fig. 41.^ ^ 

 la diagonale D A le divife en deux parties égales ; les 

 angles diagonalement oppofés B C A D font 

 égaux; les angles oppofés au même côté CD ôc A B 

 font enfemble égaux à deux angles droits ; & deux 

 côtés pris enfem.ble font plus grands que la diago- 

 nale. 



Deux parallélogrammes ^ABCD^ECDF^ fur 

 la même ou lur une égale bafe , & de la même hau- 

 teur ^ C , ou entre les mêmes parallèles AFCD , 

 font égaux ; d'où il fuit que deux triangles C DA^ 

 C D F fur la même bafe & de la même hauteur , 

 font auffi égaux. 



Il s'enfuit auffi que tout triangle C FD efc moitié 

 du paraVélo gramme A C D B fur la même ou fur une 

 égale bafe CD , & de la même hauteur, ou entre les 

 mêmes parallèles ; & qu'un triangle efi: égal à un 

 parallélogramme qui a la même bafe & la moitié de la 

 hauteur , ou moitié de la bafe & la même hauteur. 

 Foyei_ Triangle. 



Les parallélogrammes font en raifon compofée de 

 leur baie & de leur hauteur. Si donc les hauteurs font 

 égales, ils font comme les bafes , & réciproque- 

 ment. 



Dans les parallélogrammes & les triangles fembla- 

 bles , les hauteurs font proportionnelles aux côtés 

 homologues. De-là les parallélogram.mes & les trian- 

 gles femblables font en raifon doublée de leurs côtés 

 iiomologues, auffi-bien que de leurs hauteurs & de 

 Jeurs bafes ; ils font donc comme les quarrés des cô- 

 tés , des hautevirs ôc des bafes. 



PAR 911 



Dans tout parallélogramme , la fomme des quarrés 

 des deux diagonales efl égale à la fomme des quarrés 

 des quatre côtés. 



M. de Lagny regarde cette propofition comme 

 une des plus importantes de toute la Géométrie : il 

 la met au même rang que la fameufe XLFIP. d'Eu- 

 clide , & que celle de la iimllitude des triangles ; & il 

 ajoute que le premier livre entier d'Euclide n'eil 

 qu'un cas particulier de celle-ci. Car fi ce parallélo- 

 gramme eil reûangle, il s'enfuit que les deux diago- 

 nales font égales , & par conféquent que le quarré 

 de la diagonale , ou , ce qui revient au même , le 

 quarré de l'hypothenufe de l'angle droit, eft égal aux 

 quarrés des côtés. 



Si le parallélogramme n'eft pas re£langle , & par 

 conféquent fi les deux diagonales ne font pas égales ^ 

 ce qui ell le cas le plus général, la propofition de- 

 vient d'une vafte étendue ; elle peut fervir , par exem- 

 ple, dans toute la théorie des mouvemens compofés , 

 &c. 



Il y a trois manières de démontrer ce théorème : 

 la première , |)ar la Trigonométrie , ce qui demande 

 vingt-une opérations ; la féconde , géométrique 

 analytique , en demande quinze : M. de Lagny en 

 donne une plus courte dans les mémoires de C acadé- 

 mie ; elle n'en exige que fept. Foyt^^ Diagonale. 



Mais en fuppofant la fameufe XLPIl^. dont la 

 démonftration eft d'un affez petit détail , celle-ci fe 

 démontre avec une extrême facilité : car foit A C 

 =zD{Pl. de Géom.fig. 2.S.),DB=zd ^ AB-CD 

 z=iB,BC=AD = C, BFz^AE-y ,CF=zDE 

 — X , alors D Ffera — B -{-x , & CE = B — x; on 

 voit bien queAE & ^i^font des perpendiculaires. 

 Ceci fuppofé , il faut démontrer que Z> Z> -}- dd=:z 

 iBB -f 2 ce. 



Démonfl. par la XLFIP. DD — YY+ BB - 

 2 Bx 4- xx&L CC — y y -{- XX. Mettant donc CC 

 en la place de Y Y -Y xx., dans l'équation précé- 

 dente, on2ojiXd.DD z=.BB 4- CC— xBx. 



Pareillement dd=YY-\-BB^xBX-\- XX 

 = BB -\-CC -\-iBX; par conféquent Z) + d d 

 =zBB-^CC + xBX + BB + CC- xBX,&cré- 

 duifant ce dernier membre à faplusiimple expreffion, 

 on a DD + dd= 2BB iCC. (C. Q. F. D.) 



Trouvez l'aire du parallélogramme reftangle A B 

 CD (^fig. 41. ) ; trouvez la longueur des côtés A B 

 ScAC; multipliez A B par A C: le produit fera l'aire 

 du parallélogramme. Suppofez par exemple A B ^ 

 345; ^ C, 333 : l'aire fera II 385. 



On trouve l'aire des autres parallélogrammes qui 

 ne font pas re£langies , en multipliant la bafe î) C 

 (^fig. 2.6. ) par la hauteur BF. 



Complément du parallélogramme. Foye:^ COMPLÉ- 

 MENT. 



Centre de gravité du parallélogramme. Foye:^ CEN- 

 TRE DE GRAVITÉ & MÉTHODE CENTROBARIQUE. 



Quand les Géomètres difent qu'un parallélo- 

 gramme ell le produit de fa bafe par fa hauteur , ils ne 

 veulent pas dire par-là , comme quelques-uns fe l'ima- 

 ginent , qu'une furface eft le produit de deux lignes 

 droites ; car on ne multiplie point une ligne droite 

 par une ligne droite , parce qu'on ne multiplie jamais 

 deux concrets l'un par l'autre (^voye^ Concret ) ; 

 ce langage des Géomètres eil une façon de parler 

 abrégée, que j'ai expliquée à la fin de Vart. Équa- 

 tion , tom. F. p. 864. col. 2.(0) 



Règle du parallélogramme. On appelle ainfi une rè- 

 gle imaginée par M. Newton, &: dont voici l'ufage : 

 iuppofons qu'on ait une équation algébrique ordon- 

 née en X & en j ? on demande la valeur de y en 

 lorfque ;t: = o , & lorfque ;c = 00. Pour cela on dif- 

 pofe en cette forte dans un parallélogramme tôus les 



