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dont la bafe un quarré de même que toiis (es au- 

 tres étages , dont le dernier ou le plus haut n'a qu'une 

 fphere : ce qui fait que j'ai renfermé dans un feul cas 

 la réfoiution de ces deux piles , quoiqu'elles paroif- 

 fent fi différentes ; puifque la première eû. comme 

 une efpece de prifme, & que la dernière n'ell qu'une 

 pyramide. 



Pour trouver le nombre des corps fphériques con- 

 tenus dans une 



pile triangulaire OOO 



Ayant fuppofé le côté de la bafe =za,h formule de 

 toutes les fpheres contenues dans cette pile fera 



Dimonjlration. Cette pile efl compofée d'un certain 

 nombre d'étages équilatéraux mis les uns fur les au- 

 tres ; chaque étage des rangs des fpheres font une 

 progreflion arithmétique des nombres naturels : aififi 

 chaque étage eft lafomme de cette progreffion, dont le 

 plus petit terme = i ; le plus grand eft le nornbre des 

 îpheres contenues dans le plus grand rang ou côté de 

 cet étage. Le plus grand rang d'un étage fupérieur a 

 une fphere de moins que le plus grand rang de l'étage 

 immédiatement plus bas. Tout cela s'apperçoit faci- 

 lement par l'infpeftion des figures A , B , C , D , E , 

 qui repréfentent ces étages , fi on les conçoit mis les 

 uns fur les autres. 



Acoooo 



a — i ^ 



Cela pofé , puifque le plus grand rang du plus bas 

 étage , ou le plus grand terme de la progreffion 

 arithmétique contenue dans cet étage e{ï = a, le plus 

 petit = I ; on a la fomme de cette progreiTion, ou la 

 valeur du plus bas étage = — Le plus grand rang 

 du fécond étage étant =:a-^ i, dutroifieme = ^ — 2, 

 du quatrième =a — , &c. en iiibftituant facceffive- 

 ment pour chaque étage à la place de ( ^2 ) ces qiian-^ 

 tités dans la valeur du plus bas étage , on aura ces 

 étages ainfi qu'on les voit rangés ici , fçavoir le 

 premier 



fécond 



troifieme 



quatrième 



, al + 



"~ i * 



a- — a 



' i * 



__ — 3 a + 2, 

 z ' 

 a * - 5 a + 6 



(^^ — j a -i- i: 



cmquieme == 



Ce nombre d'étages elî: toujours •= a ; car le plus 

 grand rang du plus bas étage étante a, du fécond 

 = — I , du troiiieme = ^ — 2 , du quatrième a — 3 , 

 &c. Si dans cet exemple a = 5 , on aura — ^ = o. 

 Ainfi la pile finit dans l'étage oii il y a ^ — 4 , qui eft 

 le cinquième étage où il n'y a qu'une fphere. Puifque 

 donc chaque étage contient le quarré ( ^ ) , il y aura 

 autant de ces quarrés que d'étages. Par conféquent 

 pour avoir la fomme de tous ces quarrés , il faut 

 multiplier ( ) par le nombre d'étages {à) : ainû 

 dans tous les cas pofîibles on aura la fomme des pre- 

 miers termes = — . 



Tous les coëfHciens des numérateurs des féconds 

 termes négatifs — ~—^-^-'^ — ^^&c. faifant une 



progrefTion des nombres impairs 1,3, 5,7, ^c. 

 dont le nom.bre des termes = ^ — i , puifque dans le 

 premier étage il n'y a point de coëfïicient négatif; 



cette fomme eft=<z— i 2<z+i:ou chan- 



geant les figues j à caufe que ces coëfficiens font né- 

 Tome XIL 



gatifs , muitîpiiârit par {à) , & ditifant pai^ (2) , la 

 fomme de tous les féconds termes négatifs efl 

 X ^ / à laquelle ajoutant aUffi lé térmô 



+ i — .1 



pofitif 1 vieilt -^-±±±-1 X ^ + On a donc la 

 fomme des féconds termes = 



Les derniers termes ~,t_,~, &c. ou i^'^,6,&c, 

 font une progrefTion des nombres triangulaires , dont 

 le nombre de termes = ^z — 2 : car dans les deux pre- 

 miers étages il n'y en a point. Ainfi la fomme des 



troifiemes ou derniers termes = ~~_L'iiJ^JLf . 



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On a donc trouvé que dans tous les cas poffibles 

 la fomme des premiers termes = — . 



~ + 2 a2 



féconds 

 troifiemes 



a.'i — 1. aT- + z a 



lefquelles ajoutées & réduites au même dénomina- 

 teur, donnent pour la formule de la fomme de toutes 

 les fpheres contenues dans la pile triangulaire 



^^^'^^ falloit démontrer. 



VJage. Dans les places de guerre on a béfoin dé 

 favoir le nombre des boulets de canon rangés en 

 piles; ce qu'on obtiendra avec une très-grande faci- 

 lité au moyen des formules que je donne : puifque 

 pour la pile quadrangulaire oblongue il ne faut favoir 

 que les deux côtés contigus quelconques de ia bafe 

 Dans les pyramides quarrées & triangulaires ^ qu'un 

 feul ^ &. iubflituer leurs valeurs dans les formules ref- 

 pedives* Cet article nous a kl adreQJ par M, Kurd^ 

 wanfwski , de r académie royale des Sciences de Prufft ^ 

 & correfpondam de celle de Paris j qui nous afsfm V avoir 

 donné il y a tris- long tems a la fociété des Arts , & qui 

 je plaint de ce que M. l'abbé Deidier ^ dans un livre im^ 

 primé en tj^S , a fait ufage de ce problème faris ên citer 

 l'auteur. 



Pile , {Archit. Hydraul. ) c'elî un mafTif de forte 

 maçonnerie , dont le plan efl prefque toujours un 

 exagonealongé, qui fépare & porte les arches d'un 

 pont de pierre , ou les travées d'un pont de bois. On 

 conllruit ce maffif avec beaucoup de précaution. 

 D'abord fon fondement efl relevé en talus , par re^ 

 Goupement, retraites & degrés , jufqu'au niveau dë 

 la terre du fond de l'eau. 



En fécond lieu, la première afîîfe efî: toute de pier- 

 res de taille , compolee de carreaux & de boutiffes j 

 ceux-ci ayant deux piés de lit, & les boutifles aU 

 moins trois piés de queue ; ces pierres font coulées, 

 fichées, jointoyées , mêlées de chaux & de ciment. 



On cramponne celles qu'on appelle pierres de pare- 

 mmt , les unes avec les autres , avec des crampons 

 de fer fcellés en plomb ; outre cela , on met à chaaue 

 pierre de parement un crampon pour la lier avec des 

 libages , dont on entoure la première affife. Ces iiba- 

 ges, de même hauteur que les pierres de parement, 

 fontpofés àbain de mortier, de chaux & de ciment, 

 & on en remplit bien les joints d'éclats de pierre du^ 

 re. On bâtit de même les autres affifes de pierres. On 

 peut confulter là-defïïis V Architeciure hydraulique 

 M. Belidor , tome IV. l. IV. c. ij. 



La conflruâion d'une pile , quoiqu'importaUte , 

 n'eft pas cependant la chofe la plus effentielle : c'eft 

 fa proportion qui efl difficile à déterminer. Selon M. 

 Bergier, les anciens donnoient aux piks des ponts la 

 troifieme partie de la grandeur des arches , & même 

 la moitié : Hijloire des grands chemins de V empire ro^ 

 main , liv. IV. c. xxxv. Aujourd'hui on penfe que les 

 piles doivent avoir moins , comme un quart , & un 

 cinquième. Mais fur quoi cette règle eft-elle fondée? 

 On n'en fait rien ; & M, Gauthier , qui a refléchi là- 

 deilus , croit que l'expérience feule peut fixer les di- 



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