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Pour infcrire un polygone régulier dans un cercle , 

 divifez 3 60 par le nombre des côtés à\\ polygone pro- 

 pofé, afin d'avoir la quantité de l'angle EFD , pre- 

 nez cet angle E FD avi centre , & portez-en la corde 

 E D fur la circonférence autant de fois qu'elle pourra 

 y aller ; de cette manière on aura le polygone infcrit 

 au cercle. 



Quoique la réfolution de ce problème foit mécha- 

 nique , on ne doit pas la méprifer à caufe qu'elle eft 

 aifée & générale. Euclide à la vérité nous donne la 

 conftrudion du pentagone , du décagone , &: du pen- 

 tadécagone ; & d'autres auteurs donnent celles de 

 l'eptagone , de l'ennéagone , de l'endécagone ; mais 

 ces dernières conilruftions s'éloignent trop de la ri- 

 gueur géométrique ; & celles d'Euclide , qui font 

 fondées fur la defcription du pentagone , font moins 

 commodes qu'une defcription méchanique faite avec 

 im bon rapporteur. Voye^ Rapporteur. 



Pour circonfcrire un cercle à un polygone régu- 

 lier , ou pour circonfcrire un polygone régulier à un 

 ■cercle , coupez deux des angles du polygone donné , 

 comme J &cE , en deux également , par les lignes 

 droites A F &c E F , qui concourent en F; & du 

 point de concours avec le rayon E F, décrivez un 

 cercle. 



Pour circonfcrire un polygone à un cercle , divifez 

 3 60 par le nombre des côtés requis, afin d'avoir l'an- 

 gle C F; formez cet angle au. centre F, & tirez la 

 ligné eg quife divife en deux également , tirez enfuite 

 la tangente ega,d>c{ur cette ligne confiruifez un /jo- 

 lygone , ainli qu'on l'enfeigne dans le problème fui- 

 vant. 



Sur ime ligne donnée ED conftruire un polygone 

 régidier quelconque donné. Cherchez dans la table 

 l'angle de ce polygone , & conftruifez-en un angle qui 

 lui foit égal, en traçant £ ^ =.£2^. Par les trois 

 points J ,E,D, décrivez un cercle (^voye^ Cercle), 

 appliquez-y la ligne droite donnée autant de fois 

 qu'elle pourra y aller ; par ce moyen on aura décrit 

 la figure requife. 



Pour infcrire ou circonfcrire trigonométriquement 

 un polygone régulier, trouvez le fmus de l'arc, qui 

 vient en divifant la demi-circonférence 1 80 par le 

 nombre des côtés du polygone; le double de ce finus 

 eft la corde de l'arc double , & par conféquent le 

 côté J E qui doit être infcrit au cercle : donc fi le 

 rayon d'un cercle , dans lequel on doit infcrire un 

 pentagone , par exemple , eft donné en une certaine 

 mefure, comme 345 , on trouvera le côté du penta- 

 gone en même mefure par la règle de trois , en faifant, 

 comme le rayon 1000 eft à 1 176 , ainfi 3450 eft à 

 4057 , qui eft le côté du pentagone ; c'eft pourquoi 

 avec le rayon donné , décrivez un cercle , & portez 

 fur la circonférence de ce cercle le côté du polygone 

 autant de fois que vous le pourrez ; vous aurez de 

 cette manière un polygone infcrit au cercle. 



Afin d'éviter l'embarras de trouver par les tables 

 des fmus le rapport d'un côté du polygone à fon rayon, 

 nous ajou.terons vme table qui exprime les côtés des 

 polygones en parties , dont le rayon en contient 

 100000000. Dans la pratique on retranche autant de 

 figures de la droite que l'on en juge de fuperflues par 

 les circonftances du cas propofé. 



Nombre 

 dei côtés. 



Quantité 

 du côté. 



Nombre 

 des côtés. 



Quantité 

 du côté. 



III. 



17310508. 



VIII. 



7653668. 



IV. 



14142135. 



IX. 



6840401. 



V. 





X. 



6180339. 



VI. 



lOOOOQOO. 



XI. 



5634651. 



VÏI. 



8677674. 



XII. 



5 176380. 



Pour décrire trigonométriquement un polygone ré- 



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gulier fur une ligne droite donnée , & pouf circonf- 

 crire un cercle autour d'un polygone donné , |en pre- 

 nant dans la table le rapport du côté au rayon , dé- 

 terminez le rayon fur la même échelle que le côté 

 donné ; or ayant un côté & le ra3^on , on peut dé- 

 crire un polygone par le dernier problème ; donc fil 

 avec l'intervalle du rayon & des extrémités de la 

 ligne donnée, on trace deux arcs qui fe coupent, le 

 point d'interfedfion fera le centre du cercle circonf- 

 crit. 



Ligne des polygones; c'eft une ligne fur le compas 

 de proportion , qui contient les côtés des neuf pre- 

 miers polygones réguliers infcrits au même cercle, 

 c'eft-à-dire depuis le triangle équilatéraljufqu'au do- 

 décagone. Voyei Compas de proportion. 



Nombre polygone en Algèbre , c'eft la fomme d'une 

 rangée de nombres en proportion arithmétique , qui 

 commencent depuis l'unité. On les appelle ainfi , à 

 caufe que les unités dont ils font compofés ^ peuvent 

 être difpofées de manière à former une figure de 

 plufieurs côtés & de plufieurs angles égaux. Voye-:^ 

 r article FiGURÉ où cela eft expliqué. 



On divife les nombres polygones eu égard au nom- 

 bre de leurs termes , en triangulaires , dont la diffé- 

 rence des termes eft i ; en quadrangulaires ou quar- 

 rés , dont la différence eft 2 ; en pentagone , 011 la 

 différence eft 3 ; en hexagone , 011 elle eft 4 ; en hep- 

 tagone, où elle eft 5 ; en oftogone', où elle eft 6 ,6*^ 



Les exemples fuivans peuvent faire concevoir la 

 génération de plufieurs efpeces de nombres polygones 

 formés par plufieurs progreffions arithmétiques. 



ProgrefT, arithmét. 1,1, 3,4, 5, 6, 7, 8. 



Nombres triangul. 1,3, 6,10,15,21,18, 36. 



Progrefi!'. arithmét, 1,3, 5, 7, 9,11,13, 15. 



Nombres quarrés , 1,4, 9,16,15,36,49, 64. 



ProgrefT. arithmét. 1,4, 7,10,13,16,19, 22. 



Nombres pentagon. i ^ 5 , 11, 22 , 3 5 , 5 1 , 70, 92. 



ProgrefT. arithmét. 1,5, 9,13,17,11,25, 19. 



Nombres exagon. 1,6,15,28,45,66,91,110. 



Le côté d'un nombre polygone eft le nombre de 

 termes de la progreffion arithmétique qui le com- 

 pofe ; & le nombre des angles eft ce qui fait connoî- 

 tre combien cette figure a d'angles, 8c c'eft de-là que 

 le nombre polygone a pris fon nom. 



C'eft pourquoi il y a trois angles dans les nombres 

 triangulaires , quatre dans les tétragones ou les qua- 

 drangulaires , cinq dans les pentagonaux , &c. par 

 conféquent le nombre des angles furpafTe de deux la 

 différence commune, des termes. 



Pour trouver un nombre polygone , le côté & le 

 nombre de fes angles étant donné , voici la règle. Le 

 nombre polygone eft la demi-différence des produits 

 du quarré du côté par le nombre des angles , moins 

 deux unités; & du même côté par le nombre des an- 

 gles , moins quatre unités. 



En effet un terme quelconque d'une des progref- 

 fions arithmétiques ci-defTus , eft évidemment i -{- 

 ( Tz — I ) (ot — 1 ) en nommant n le nombre des ter- 

 mes , èc m l'expofant du nombre polygone ( voye^^ 

 Progression); de plus la fomme de tant de ter- 

 mes qu'on voudroit de cette progreffion eft égale à 

 la fomme des deux termes extrêmes multipliés par la 



moitié du nombre des termes , c'eft-à-dire à ^; donc 



la fomme cherchée , ou le nombre polygone eft = ^ 



.^2) = ^— ^^f-^^;cequirevient 



à l'énoncé de la règle. 



Les fommes des nombres polygones rafTemblées de 

 la même manière que les nombres polygones eux- 

 mêmes , pris des progreffions arithmétiques , font 

 appellées nombres pyramidaux, f^oye^ PYRAMIDAL 

 & Figuré. (O) 



