BEITRÄGE Z. THEORIE D. BERNOULLFSCHEN U. EULER'SCHEN ZAHLEN. 5 

 Demnach 



Ist also A,„,„_i für alle ganzen positiven Werthe von m eine ganze 

 positive Zahl, so ist dasselbe bei der Fall. Da nun Ä,„ i = i, so 

 ist allgemein eine ganze positive Zahl, sobald n eine solche ist. 



Mithin ist „ nicht blos eine ganze positive Zahl, sondern zugleich 

 durch 1.2 . . . n theilbar. 



Man kann in einer Weise definiren, aus veelcher sich von selbst 

 ergiebt, dass es eine ganze positive Zahl ist. Bezeichnet man nemlich 

 durch C,„ „ die Summe der Combinationen mit unbeschränkter Wieder- 

 holung zur Classe m aus den Elementen 1, 2 ... % unter der Voraus- 

 setzung , dass die Elemente in jeder Combinationsform als Faktoren be- 

 trachtet und die Combinationsformen addirt M^erden , so hat man 



C{m, n) = C{m, n — \)-\-nC[m — 1, n) 



und demnach 



C(l, 7i) = C{\, n — l) + nC[o, n) 

 aber auch 0(1, n) = C(l, n — l)-\-n 



Man muss also C{o, n) = 1 = „ nehmen und hat mithin der 

 Formel (5) entsprechend 



C{m, n) = C{m, n — 1) + %C(m — 1, n — 1) -f-w^ C(m— 2, n — 1) . . .-j-w*" 



Nun ist C{m, 1) = 1 = i also allgemein 



C [m, n) = „ 



Alle Beziehungen zwischen den Grössen ,j oder Ä„,^,^ können mithin 

 auch als Beziehungen zwischen den Grössen C{m, n) gedeutet werden*). 

 Aus (5) folgt unmittelbar 



Auch folgt aus (3) 



(7) A^^^ = nA,^_,^,,-\-n{n~\) A^_y,^_^ . . .-\-n[n — \) . . . 2. l^^i.i 



) Ettingshausen combin. Analysis p. 203. 



