BEITRÄGE Z. THEORIE D. BERNOÜLLI'SCHEN U. EULER'SCHEN ZAHLEN. 11 

 (1 9) m'' = {m, \ ) + {m, 2)A,_2,2 + r) A„_, 



Ist i\^m und m eine ganze Zahl, so schliesst die Keihe mit 

 (m, die folgenden Glieder fallen von selbst weg, so dass die 



Formel auch für diesen Fall ihre Geltung behält. 



Man kann diese Formel auch leicht in eine andere verwandeln. 

 Man hat nemlich 



(m— 1, l)A._,,i4-(m — 1, 1) A-2,2 = (m — 1, 1) ^ 

 {m — \, 2)A,_2,2-\-{m — l, 2)^,_3,3 = {m — 1, 2)-" 



A-2,3 



r +1 



Addirt man auf beiden Seiten alle Glieder und bemerkt, dass 

 A-i, 1 + (m — 1 , 1 ) 1 = (m, 1 ) A,_,_, 

 {m — l,l) A,_2,2 + (m — 1 , 2) A,_2,2 = [m, 2) A,_2,2 

 u. s. w. 



so ergiebt sich 



(20) nf = A,,-^{m~\, . .4-(.m-l,r)^ 

 Entwickelt man in derselben Weise 



so ergiebt sich 



( 2 1 ) = (m + r - 1 , '/•) , — + r — 2 , r— 1 . . . + (— 1 )*-^ (m, 1 )A,_^, ^ 



5. 



Aus (2) folgt 



(- 1 = 1 ) 1"*+' - [n, 2) 2'"+' . . . + (-1)"-» 



= ^[1*" — (w — 1, 1)2"* (_!)"-! ^»wj 



oder wenn man 



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