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^ 1.2 • • • "1" 1..2'/» • • • L^"T~ 1.2 • • • "T-l ..2m • • 



und , indem man hier auf beiden Seiten den Coeffieienten von x^*^ be- 

 stimmt, ergiebt sich, je nachdem n gerade oder ungerade 



^2«+i = 2E„-^2{2n,2)E^E,,_,-\-2{2n, i) E„_,. .,-\- {2n, n)E,_^E,^ 



2 2 



2^2.+! = 2E,,^2{2n,2)E,K-,-{-... +2[2n,n~\)E,^E,_^ 



2 2 



SO dass man in beiden Fällen schreiben kann 



(66) ^2,,+, = i:„+(2n. 2)E,E,^_,.. .+(27/., 2)i;„_,i;^ + i;„ 



Aus den Formeln (65) und (6(3) ergiebt sich der Beweis der zuerst 

 von Herrn Andre*) bemerkten Identität der Euler'schen Zahlen und 

 der Tangentencoefficienten mit Zahlen , welche sich aus einer scheinbar 

 sehr entlegenen combinatorischen Operation ergeben. 



Man bilde nemlich aus den ^'Zahlen 1, 2, ... A-, welche man als 

 Elemente betrachtet , alle Permutationen , bei welchen , wenn man von 

 der Linken zur Rechten fortgeht, das in der ersten Stelle stehende Ele- 

 ment kleiner ist als das in zweiter Stelle stehende und allgemein das in 

 der 2r — Iten Stelle stehende kleiner als das in der 2rten stehende; zu- 

 gleich soll aber auch allgemein das in der 2rten Stelle stehende grösser 

 sein als das in der 2r-f-lten Stelle stehende. Zieht man in einer sol- 

 chen Permutationsform von der Linken zur Rechten fortgehend , jedes 

 Element von dem folgenden ab, so erhält man, wenn ^ = 2n, das aus 

 2n — 1 Zeichen bestehende Schema 



(A) H \ ... h 



und, wenn k = 2n-\-\, das aus 2w Zeichen bestehende Schema 



(B) 4 h---- + - 



Im ersten Falle soll und im zweiten ^oif+i die Gesammtzahl 

 der dem bestimmten Schema entsprechenden Permutationen bezeichnen. 

 Mithin ist ^2 = ^- dagegen hätte nach dieser Definition von keine 

 Bedeutung, es wird aber dieses Symbol = 1 gesetzt. 



*) Coraptes Rendns de TAcademie des Sciences T. 88 p. 965. 



