BEITRÄGE Z. THEORIE D. BERNOULLFSCHEN U. EULER'SCRRN ZAHLEN. 43 



Sollen aus 2w-)- 1 Elementen 1,2.. 2n-\-\ alle dem Schema (B) 

 entsprechenden ^2k+i Perniutationen gebildet werden . so ist klar , dass 

 das grösste Element 2w + l in jeder dieser Permutationen eine solche 

 Stelle einnehmen muss , dass ihm eine ungerade Anzahl Elemente folgt 

 und mithin auch vorausgeht. Es kann nemlich das Element 2w-)-l 

 nicht in der letzten Stelle stehen , weil ihm dann ein kleineres Element 

 vorausgehen und al^io die Zeichenreihe nicht mit — sondern mit -|- 

 schliessen würde. Aus demselben Grunde können auch nicht 2Ä:Ele 

 raente auf das Element 2n-\-\ folgen, da die aas 2A'Zeichen bestehende 

 Zeichenreihe, die aus dem Elemente 2n-\~\ und den folgenden 2A'Ele- 

 menten zu bilden wäre, mit — beginnen und also mit -f- schliessen 

 müsste. Betrachtet man daher den Fall, wo 1k -\- \ EAemenie auf das 

 Element 2^^-|-l folgen und demnach 2n — '2k — 1 Elemente ihm vor- 

 ausgehen, so können aus den bestimmten 2w — 1k — 1 Elementen 

 ^2„_:i_i Permutationen gebildet werden, welche der Form des Schema (B) 

 angehören und ebenso aus den bestimmten lk -\- \ ^lemeniew ^3^+1 P^i'- 

 mutationen, welche derselben Form angehören. Man erhält daher durch 

 Einschaltung des Elementes 2w-|-1 in die In — 2A-te Stelle im Ganzen 

 [In, 2^-1-1) ^2,i-2it-i^2/.+i Permutationen , die bei dieser bestimmten Stel- 

 lung des Elementes l7i-\-\ aus den 2w -|- 1 Elementen , dem Schema (B) 

 entsprechend, gebildet werden können, da sich aus 2w Elementen 

 [In, 2A*-1- 1) Combinationen ohne Wiederholung zur Classe 1k-\-\ bilden 

 lassen. Setzt man nun für k alle ganzen Zahlen von 0 bis w — 1 , so 

 ■findet man 



(67) = (2w, l)^o„_i^i + (2w, 3)A,_3.43 . . . + (2>^ 2n — \)A,A,„_^ 



Sollen aus 2w+ 2 Elementen alle der Form des Schema (A) ent- 

 sprechenden Permutationen gebildet werden, so kann das Element 1n-\-'2 

 nicht in der vorletzten Stelle stehen, weil sonst das Schema mit — 

 schliessen würde, und aus demselben Grunde überhaupt nicht eine solche 

 Stelle einnehmen, dass ihm eine ungerade Anzahl Elemente folgt. Nimmt 

 man an, dass ihm ik bestimmte Elemente folgen und also 1n-\-\ — 1k 

 bestimmte Elemente ihm vorausgehen , so findet man , ähnlich wie im 



