UNTERSUCHUNGEN ÜBER D. FLÄCHEN MIT PLANEN U. SPHÄRISCHEN ETC. 5 



Fläche S steht zur Fläche 8^ in demselben Verhältniss , wie umgekehrt, 

 die Fläche S ^ zur Fläche *S, Die wesentlichste Eigenschaft der Trans- 



Edinburgh, and Dublin Philosopbical Magazine and Journal of Science. Volume XXIIL 

 p. 338—347. London 1843). Auf p. 338 findet sich folgende Definition , welche 

 später auch auf Flächen angewandt ist: If in the plane of a curve we take any 

 point as a pole and produce the radius vector, so that the rectangle under radius 

 vector to the original curve on the whole produced radius be constant or äqual to 

 Jc^, we may call the locus of the extremity of this produced line the iuverse curve 

 to the one from which it is produced, and the extremity of the produced radius the 

 inverse point to the extremity of the original : as an exemple , the cardioide is the 

 inverse of the parabola, the focus being the pole; the lemniscata is the inverse of 

 the equilateral hyperbola.« Auf p. 343 findet sich der Satz: »Hence the normals 

 of inverse points of surfaces are in the same plane and equally inclined to the 

 common radius.« Endlich auf p. 344 wird bemerkt — »or the inverse of a line of 

 curvature on a surface is the line of curvature of the inverse surface; or if the 

 line of curvature of a surface be known, that of its inverse surface is had by descri- 

 bing a cone with the pole as vertex and passing through the line of curvature on 

 direct surface, the line in which it pierces the inverse surface is a line of curvature.« 

 Die vorstehenden Resultate finden sich einige Jahre später im »Journal de Mathe- 

 matiques« reproducirt. In dem »Extrait d'une lettre de M. William Thomson 

 ä M. Liouville« (Tome X. Annes 1845 p. 364 — 367) findet sich folgende Defi- 

 nition: »Soient C le centre d'une sphere S; Q, Q' deux points pris sur un meme 

 rayon CA et sur son prolongement, de teile maniere que 



CQ . CQ' = CA'' 



et P un point quelconque sur la surface S. On a comme on sait, 



PQ_ _ AQ^ 



On peut ä cause de ce theoreme , appeler Q et Q' points reciproques relatifs ä la 

 sphere S, dont chacun est Vimage de l'autre sur la sphere.« In einer weiteren 

 Mittheilung : »Extraits de deux lettres adressees aM. Liouville par M. William 

 Thomson« (T. XII. Annee 1847, p. 256 — 264) wird die Lage eines Punktes im 

 Räume als Schnittpunkt dreier, zu einander gegenseitig orthogonalen Kugelflächen 

 bestimmt und die Transformation auf physikalische Probleme angewandt. Zu diesen 

 Mittheilungen hat Hr. Liouville u. d. T. : »Note au sujet de l'article precedent« 

 (T. XII, p. 265 — 290) eine Reihe von Entwicklungen beigefügt. Man findet dort 



