UNTERSUC BÜNGENÜBER D.FLÄCHENMIT PLANEN Ü.SPHÄRISCHEN ETC. 1 1 



Verbindet man die vorstehenden Gleichungen mit den Gleichungen 

 4), 5) und 10), bedient sich der in II gegebenen Formeln, so sind die 

 Hauptkrümmungshalbmesser der Fläche auf folgende Art bestimmt: 



' r , r r ^ r 



Von den Gleichungen 8), 10), 12), 13), und 14) lassen sich auf die 

 Flächen mit einem Systeme planer oder sphärischer Krümmungslinien 

 folgende Anwendungen machen. Eine Ebene oder eine KugelÜäche geht 

 durch Anwendung der Transformation durch reciproke üadii vectores 

 allgemein in eine Kugelfläche über, die in besonderen Fällen eine Ebene 

 sein kann. Hat die primitive Fläche ein System sphärischer Krüm- 

 mungslinien, so hat die transformirte Fläche dieselbe Eigenschaft. Man 

 kann auch, was analytisch nicht ohne Interesse ist, von der transformirten 

 Fläche ausgehn und sich die Frage stellen : welche Bedingungen muss 

 die primitive Fläche erfüllen, wenn für die transformirte Fläche durch 

 reciproke Radii vectores ein System von Krümmungslinien plan oder 

 sphärisch ist? Die LösufUg dieser Aufgabe lässt sich mit ziemlich ein- 

 fachen Kechnungen durchführen, wie im Folgenden gezeigt werden soll. 



Ist für eine Fläche S das System der Krümmungslinien (v) sphä- 

 risch, so hat man in Folge der Gleichungen 2) und 3) von III: 



I* z=ia^-\-R^ (cos «cos ff — cos «sin ff), 

 15) fj*^ = i/-{-R^{cosb C08G — cosö'sinff), 



^* 2; -f- J^o (cos c cos ff — cos c'sin ff). 



1 cos ff sin ff d\lG 



Es ist (^2' *i2' ^2) Mittelpunkt, der Radius der osculatori- 



schen Kugelfläche der sphärischen Krümmungslinie [v) , welche durch 

 den Punkt [x,y,z) der Fläche /S geht; ff ist der Winkel, welchen der 

 Eadius der Normalen zur Fläche <S im Punkte {x,y,z) einschliesst. 



Die sämmtlichen Quantitäten ri\, und ff sind nur von u ab- 



hängig. 



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