12 ALFRED ENNEPER, 



Ist das System der Krümmungslinien (y) für die Fläche S plan, 

 wobei Kreise ausgeschlossen sein mögen, so ist iu der Gleichung 16) 

 -Rg = oo zu nehmen. An Stelle der Gleichungen 15) tritt folgende, 

 unter 3) in IV aufgestellte, Gleichung der Ebene der planen Krüm- 

 mungslinie : 



17) cc Cosa -\-^ cos ß z cos y = S2 , 



wo cos«, cos/?, cosy und S2 nur von ii abhängen. In den Gleichungen 

 15) subtrahire man auf beiden Seiten Xq, t/^, z^, setze also: 



j 1* — '^0 — — x^-^-jR^i^^^'^^'^^^ — cos«' sin a), 

 1 8) I 7]l — j/p = 7/ — i/q -\- (cos 6 cos (j — cos 6' sin a), 



\ — = z — -\- I^o (cos c cos (7 — cos c'sin g). 



Man bilde die Summe der Quadrate der vorstehenden Gleichungen 

 unter Anwendung der in den Gleichungen 2) gebrauchten Bezeichnungen^ 

 Die bemerkte Summe giebt: 



^2 - ^o)'+ (nl o)'+ -'of = 2^^2 (Q cosd- Q' sin ü)+Rl. 

 Hieraus folgt: 



19) A' + 2R,j;Qcos(7-Q'sin(7)= (r,-^'of+('/2-^o)'+t^2-^o)~^i- 



Wird für eine Fläche S das System der Krümmungslinien [v] auf 

 der transformirten Fläche S ^ sphärisch oder plan , so findet für die 

 Fläche eine ähnliche Gleichung, wie die Gleichung 16) statt, nämlich:: 



1 Cosa' sind' d\/G^ 



wo R'^ und G nur von « abhängen. Setzt man fürEj^, und r'\ ihre- 

 Werthe aus den Gleichungen S) und 14) ein. so folgt: 



20) |- = _|^+2Q)cos. + (^^--2Q)sma. 



Wird diese Gleichung nach t differentiirt , so hat man nach den 

 Gleichungen von II: 



