ÜNTERSUCHUNGENÜBER D. FLÄCHEN MIT PLANEN U. SPHÄRISCHEN ETC. 15 



29) ' - x-)'-^ {nl -yf-^ - = Rl 



Geht diese Kugelfiäche durch einen festen Punkt {^^,^^^,^0) so ist: 



Findet diese Gleichung statt, so verschwindet die rechte Seite der 

 Gleichung 24), es ist dann i?', = co , d h. die transformirte Krüm- 

 rnungslinie ist plan. Ist die primitive Krümmungslinie plan, geht ihre 

 Ebene durch einen festen Punkt [x ^, q, z ^^), so hat man nach 17): 



X cos, ci -\- 1/ Q coi ß -\- z cos y = £1. 



In der Gleichung 2 8) verschwindet dann die rechte Seite , es ist 

 wieder B! ^ = 00, d, h. die transformirte Krümraungslinie ist plan. Aus 

 dem Vorstehenden ergeben sich folgende Resultate. Wird ein System 

 von Krümmungslinien einer Fläche S mittelst der Transformation durch 

 reciproke Radii vectores sphärisch , so ist das primitive System der 

 Fläche S ebenfalls sphärisch oder plan. Wird ein System von Krüm- 

 mungslinien einer Fläche S mittelst der Transformation durch reciproke 

 Radii vectores plan , so ist das primitive System ebenfalls plan oder 

 sphärisch, wobei entweder die Ebenen der planen Krümmungslinien 

 oder die osculatorischen Kugelfiächen der sphärischen Krümmungslinien 

 durch einen festen Punkt 0 gehen. Der Punkt O ist das Centrum der 

 Transformation. Bei der Deduction dieser Resultate ist die transformirte 

 Fläche zu Grunde gelegt, ein Verfahren, welches gestattet einige Sätze 

 unmittelbar umzukehren. Man kann auch für die primitive Fläche S 

 direct die Gleichung 16) oder 25) zu Grunde legen und dann mit Hülfe 

 der in II aufgestellten Gleichungen die transformirte Fläche untersuchen; 

 der im Obigen eingeschlagene Weg ist für den vorliegenden Zweck etwas 

 einfacher und von mehr Interesse, 



Zur Vervollständigung der für die Fläche >S^ aufgestellten Glei- 

 chungen mögen noch für diese Fläche einige geometrische Elemente be- 

 stimmt werden. Für die Fläche findet die Gleichung 20) statt. Es 

 sei (I', 1], J') der Mittelpunkt der osculatorischen Kugelfiäche der sphäri- 



