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Einfachheit, wenn die geometrischen Elemente der Coive F eingeführt 

 werden. Eine ganz ähnliche Erscheinung wiederholt sich in XI bei einer 

 anderen Gattung von Flächen, so dass es geboten erscheint; die geome- 

 trischen Elemente der Curve F* im Allgemeinen nicht in die vorkom- 

 menden Formeln einzuführen. Diese Bemerkungen, welche auf speciellen 

 Fällen beruhn, sind geeignet, einige in den allgemeinen Untersuchungen 

 von XII vorkommende Anschauungen zu motiviren und die Einführung 

 neuer Quantitäten an Stelle von 1*, ij* und ^ a priori zu rechtfertigen. 



X. 



Flächen, für welche beide Systeme von Krümmungslinien 



sphärisch sind. 



Die Flächen, für welche beide Systeme von Krümmungslinien sphä- 

 risch sind, lassen sich geometrisch sehr einfach aus den Resultaten von 

 V und VI herleiten, mit Hülfe eines Satzes, dessen Beweis im Folgenden 

 gegeben ist. Transformirt man die Flächen , für welche beide Systeme 

 von Krümmungslinien plan sind, oder das eine System plan das andere 

 sphärisch ist , durch reciproke Radii vectores , so erhält man im Allge- 

 meinen offenbar Flächen , deren Krümmungslinien sämmtlich sphärisch 

 sind. Dieser Satz lässt sich nun umkehren, woraus eine einfache Her- 

 leitung der in der Ueberschrift dieses Abschnitts genannten Flächen sich 

 ergiebt. Für eine Parallelfläche bleiben die planen Krümmungslinien 

 plan , die sphärischen bleiben sphärisch. Man kann also auch die zu 

 Anfang bemerkten Flächen als Parallelflächen solcher ansehn, für welche 

 durch die Transformation durch reciproke Padii vectores wenigstens ein 

 System von Krümmungslinien plan wird. Diese Bemerkung, welche sich 

 zuerst bei den Hn. Bonn et (Journal de l'Ecole Polytechnique. Trente- 

 Cinquieme Cahier, p. 24 8) und Serret (Journal de Mathematiques. 

 Annee 1853, p. 161) findet, bildet im Folgenden den Gegenstand einer 

 genaueren Untersuchung, welche bisher zu einer vollständigen Begründung 

 des Satzes fehlte. Die Flächen mit nur sphärischen Krümmungslinien 



