TJNTERSUCHUNGENÜßERD. FLÄCHEN MIT PLANENU.SPHÄRISCHENETC. 31 



zerfallen in zwei Classen. In der ersten Classe liegen die Mittelpunkte 

 der osculatorischen Kugelflächen jedes Systems in je einer festen Ebene, 

 die beiden Ebenen, welche sich so ergeben, sind orthogonal zu einander. 

 In der zweiten Classe liegen die Mittelpunkte der osculatorischen Ku- 

 gelflächen des einen Systems auf einer Geraden, während für das andere 

 System die Mittelpunkte auf einer beliebigen Curve liegen. Die zweite 

 Classe gehört unter die in VL betrachteten Flächen, ein System von 

 Krümmungslinien besteht nämlich aus- Kreisen. 



Für den Fall nur sphärischer Krümmungslinien finden die Glei- 

 chungen 3) und 4) von IX gleichzeitig statt. Die osculatorischen Ku- 

 gelflächen beider Systeme sind in folgenden Gleichungen enthalten : 



2) —^f + ivl -y? + —^f =pl+ ql- 



Durch Elimination von oc , y und z zwischen den Gleichungen 3) 

 und 4) von IX folgt: 



— = (i?! — pjcosa-f-^g cos«'— cosa", 



3) n\—n\ = {p^—p^)cosh-\-q^co9h' — q^cosb", 



~ — (Pi — Pi) cos c-|-^2 cosc' — q ^ cosc". 

 Die Summe der Quadrate dieser Gleichungen giebt: 



4) {K-KT+in\-nir^{c:--tlr = {p,~P,r^ql^ql, 



wo also rjl, b*, p^^ und q^ nur von v, 1*' ^2' P2 ^2 

 von u abhängen. Die Gleichung 4) nach v und u differentiirt giebt: 

 5\ df^ dij] dril dt\ d^l ^ dp^ dp^ 



' dv da dv du dv du dv du 



Aus dieser Gleichung leitet man leicht die folgende mit Hülfe suc- 

 cessiver Dift"erentiationen ab: 



d^\ drj] d^\ 

 dv dv dv 



d'^ld'fj; d't\ 



dv' dv'' dv^ 



d't, d'n\ d'i\ 



dv' 



dv' 



dv' 



d§l drjl 

 du du 



du 



d'H d^^ dni 

 du^ 



du^ 



du^ 



du' du' du^ 



