UNTERSUCHUNGENÜBER D.FLÄCHEN MIT PLANEN Ü.SPHÄRISCHEN ETC. 53 



auf eine Curve F und einen variabelen Radius der Transformation , de- 

 finirt durch die Gleichung : 



OP^ . np = u, 



so ergiebt eine, weiter unten ausgeführte Untersuchung, folgendes 



Theorem : 



Entsprechen bei der angegebenen Transformation den Krümmungs- 

 linien der Fläche S auf S ebenfalls Krümmungslinien , so ist das 

 System [v) der Krümmungslinien auf der Fläche S sphärisch und 

 die Kugelflächen des Systems schneiden die Fläche *S orthogonal. 

 Auf der Fläche 8^ ist dann das System [v) sphärisch oder plan, 

 die osculatorischen Kugelflächen oder die Krümmungsebenen des 

 Systems schneiden die Fläche ebenfalls orthogonal. 

 Da man in der Rechnung mehrere Functionen von u hat , so lässt 

 sich zwischen denselben , wie weiter unten gezeigt ist , eine derartige 

 Verbindung herstellen, dass die sphärischen Krümmungslinien von jS, 

 deren Kugelflächen die Fläche 8 orthogonal schneiden , auf der Fläche 

 8^ in ebene Curven übergehen. Ist die Fläche 8^ bekannt , so lässt 

 sich aus derselben umgekehrt sehr leicht die Fläche 8 deduciren. Wegen 

 seiner Einfachheit und der Möglichkeit alle Rechnungen durchführen zu 

 können, verdient dieser Fall von Flächen mit einem Systeme sphärischer 

 Krümmungslinien eine besondere Darstellung. 



Die Coordinaten ^, 'Q eines Punktes H einer Curve doppelter 

 Krümmung seien Functionen einer Variabein m, oder von s, wo s von u 

 abhängig ist und ds das Bogenelement der Curve bezeichnet. Der Ein- 

 fachheit halber werde der Punkt 0 zum Anfangspunkt der Coordinaten 

 genommen. Bezeichnet U eine Function von u, so entspreche der Funkt 

 (o^j, j/j, z^) einer Fläche 8^ dem Punkte [x^ y, z) einer Fläche durch 

 folgende Gleichungen: 



wo : 



2) N={iv-§f-i-{2/-rif-\-{^-Cf. 



