UNTERSUCHUNGEN ÜBEE D. FLÄCHEN MIT PLANEN U.SPHÄRISCHENETC. 57 



2ÖQ' 



( Z7'+ 2 UW) Q~U{^' cos « 4- cos & + Tcos c) = —A 



{U'-i-2m^N— Um^ . =—AQ'. 



Eliminirt man A zwischen diesen beiden Gleichungen, so fällt auch. 

 W weg, es bleibt einfach : 



12) Z7(|'cosa-l- >?'cos6-j- i'cosc)-\- U'Q = 0. 



Die Gleichung 8) folgt auch durch Differentiation der Gleichung 1 2) 

 nach V. Die Gleichung 8) weiter nach v diiferentiirt giebt, v;egen 1 2) : 



13) — [C7(rcosa'4-Vcos&'-f rcosc')+ C7'Q']^-J^ + ü' sjG = 0. . 

 Man setze zur Vereinfachung : 



14) 



1 dsjG 1 



Aus der Gleichung 1 3) folgt dann : 

 1 5) C7(^'cos a-\-nco%h'-{- tcos c) -\-U'Q' = U'R^. 



Wird die Gleichung 12) nach v differentiirt, so ergiebt sich mit 

 Hülfe der Gleichung 8) einfach: 



dB. 



dv 



= 0 , 



d. h. es tiängt R^ nur von u ab. Nimmt man in den Gleichungen 1) 

 und 5) von IX, cos ff = 0, sin ff — 1, also = 0 und = R^, so er- 

 hält man wieder die Gleichung 1 4). Die in der Gleichung 1 2) enthaltene 

 Bedingung drückt also geometrisch aus, dass das System der Krümmungs- 

 linien [v) der Fläche ä sphärisch ist und die Kugelflächen dieses Sy- 

 stems die Fläche 8 orthogonal schneiden. 



Die Gleichungen 12), 15) und 8) bringe man auf folgende Formen: 



JJ'Q = — cos a -\-rl cos h cos c) , 

 16) U'{Q'—R^) = — Ui^'cosa -\-rj' cos b'-\-:' cos c), 



U'Q"= — C/(|'cosa"+»j'cosi"-|-rcosc"). 

 MatJiem. Classe. XXVI 2. H 



