ÜNTERSUCHÜNGENÜBER D.FLÄCHENMITPLANENU.SPHÄRISCHEN ETC. 63 



ziehuDg, viel einfacher, wie für die entsprechenden sphärischen Curven. 

 In der Einleitung zu dieser Abhandlung ist schon erwähnt, dass Hr. 

 Bonnet im vierten Theile seines ,, Memoire", welches den Titel trägt: 

 ,,Sur las surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont spheriques" 

 (Journal de l'Ecole Polytechnique t. XX p. 277 — 306) sich auf zwei 

 besondere Fälle beschränkt hat. Die allgemeinere Lösung ist von Hn. 

 Serret angebahnt, wenn auch unvollständig durchgeführt worden 

 (Comptes Rendus, 1 856. t. XLII pag. 109—110 und 190 — 194). Die 

 Resultate des Hn. Serret basiren auf der Integration einer Differential- 

 gleichung dritter Ordnung, welche Integration drei Parameter involvirt, 

 wobei a priori bekannt ist, dass die Lösung des geometrischen Problems 

 nur zwei arbiträre Constanten erfordert. Die vorkommenden Parameter 

 sind keine absoluten Constanten , sondern Functionen einer Variabein. 

 Es ist einleuchtend, dass die bemerkte Bedingung die Aufstellung einer 

 Relation zwischen den drei Parametern erfordert. Um die Lösung des 

 Problems möglichst zu vereinfachen, hat Hr. Serret, gleich bei einer er- 

 sten Integration, welche die Differentialgleichung gestattet, die auftretende 

 Constante annullirt. Hierdurch ist es dann gekommen, dass die von Hn. 

 Serret schliesslich gegebene Lösung, an Stelle zweier Functionen einer 

 Variabelen , eigentlich nur noch die Variabele enthält. Die vollständige 

 Behandlung der Differentialgleichung dritter Ordnung ist zuerst in den 

 ,, Nachrichten V. d. K. G. d. W." (Göttingen, 1872) durchgeführt worden. 

 Die dabei gefundenen Resultate bilden einen Theil des vorliegenden Ab- 

 schnitts, zu dessen Vorarbeiten sie gedient haben. 



Die oben erwähnte Arbeit des Hn. Serret enthält mehrere unge- 

 mein scharfsinnige Bemerkungen dieses ausgezeichneten Analytikers über 

 die Integration eines besondern Systems simxiltaner Differentialgleichun- 

 gen. Diese Bemerkungen haben später eine Verallgemeinerung erfahren 

 in Bonnet: ,,Note sur l'integration d'une certaine classe d'dquations 

 diff^rentielles simultanees" (Comptes Rendus, 1861. T. LIII pag. 971 

 — 974). Die Verallgemeinerung des Hn. Bonnet besteht darin, ja Func- 

 tionen X, y, . . . t, u, V zu bestimmen, welche den p — 1 Differential- 

 gleichungen : 



