UNTERSUCHUNGENÜBER D.FLÄCHEN MIT PLÄNEN U.SPHÄßlSCHEN ETC. 69 



mit Hülfe einer DifFeientialgleichuiig dritter Ordnung bestimmen lassen. 

 Man kann umgekehrt X, Y, Z und r" auf folgende Art durch a;^,i/^,z^ 

 und ausdrücken. Die Gleichungen 20) geben in Verbindung mit den 

 Gleichungen 8), 1 5) und 1 7) : 



22*) a?2+3,2_|_^2_r2 



Mit Hülfe dieser Gleichung entwickele man aus den Gleichungen 

 20) die Werthe von X, Y, Z und r", setze in die erhaltenen Gleichungen 

 aus 6) die Werthe von X, Y und Z ein. Hierdurch erhält man : 



a^-\-r"cosa — -\- q^U§* = 



23) 



I " 7 * , TT * ^^1 



* -'7 

 ^_|_/'cosc — ^2+5'2^^* 



1 1 



2ä'„ Uz. 



2q,UT^ 



In diesen Gleichungen sind <2?i, j/j, z^ und T ^ vier zu bestim- 

 mende Functionen von u und xi. In Beziehung auf v geben die Glei- 

 chungen 2 3) difFerentiirt : 



dr IqUidx^ 2ocD'\ 



dr" _ 2q^U Ulz^ _ 2z ^ D'\ dr[ _ 2q^U IdT ^ _ 2 



— cosc — — \dv ^ D^l' 



wo zur Abkürzung: 



gesetzt ist. Von der Summe der Quadrate der drei ersten Gleichungen 

 24) werde das Quadrat der vierten Gleichung abgezogen ; da 



cos^a -|-cos^&-|-<-'OS^c — 1 = 0 



ist, so folgt: 



