UNTERSUCHUNGEN ÜBER D.FLÄCHEN MIT PLANEN U.SPHÄRISCHEN ETC. 103 



Die Gleichungen 109) und HO) geben: 



•^'+/+^' - [,[^2 dwf-{-ql. 



Ein weiterer Verfolg der Gleichungen 109) und 110) würde wieder 

 auf die in IX gefundenen Resultate führen. Die Aufstellung der Glei- 

 chungen 109) und 110) ist in sofern nicht ohne Interesse, als dieselbe 

 auf den allgemeinen Formeln dieses Abschnitts beruht. 



Allhang. 



A. Bemerkungen über die Flächen, für welche die 

 K r üm m un gs 1 i n i e n eines Systems gleichzeitig geodätische 



Lin ien sin d. 



Die Flächen mit einem Systeme planer Krümmungslinien , deren 

 Ebenen die Normalen der Flächen enthalten , bieten ein besonderes In- 

 teresse , sowohl in Beziehung auf ihre Entstehungsweise, wie durch ihr 

 häufiges Auftreten bei geometrischen Problemen. Aus diesem Grunde 

 sollen die in IVB aufgestellten Gleichungen 48) und 50) noch einige 

 Umformungen erleiden , welche für verschiedene Anwendungen vortheil- 

 haft sind. 



Man kann die Gleichungen 48) von IVB auf folgende Weise dar- 

 stellen , welche zu ziemlich einfachen geometrischen Interpretationen 

 Veranlassung giebt : 



^cos«-l-3'cos/S-)- ^cos = ^ [/"(<^) +/(f")]i 



,2?(cosMntü-j-cos-^costü)-|-j/(cosmsinto-f-cos/iCoscy)-|-0(cosnsinft)--)-cosz'cosa?) 



dV 



^ == — /(<m) sin CD —f (ou) cos co -j- ^ cos ip-\-V sin xp, 



a;(cosfcoscü — cos^sinco)-l-j/(cosmcosco — cos^sinto)-(-2;(coswcosw — cosi'sinco) 

 , = — f{co) cos a> + /' (to) sin co -|- sin %p — Fcos tp. 



