104 ALFRED ENNEPE R, 



Legt man die Gleichungen 5 0) von IVB zu Grunde, so lässt sich 

 an Stelle der vorstehenden Gleichungen 1) das folgende System auf- 

 stellen : 



{x — ^)Coscf4-(j/ — }])cosß-\-[z — fe)cos/ — 0, 



— ^) (cos ^sin CO -f- cos ^ cos w) -\- [y — if) (cos w sin o; + cos fx cos lo) 



dV 



-\-[z — .C)(cos??. sintü-|-cos?^cos(w) = ^ cos Vsmxp, 

 (oc — ^) (cos Icosw — cos Z sin w) + (j/ — if){cos m costo — cos ^ sin co) 

 ^ -{- {z — ^)(coswcosa> — cosi^sin cü) = sin 1// — Vcosip. 



In den Gleichungen 2) ist rj, ^) ein Punkt einer beliebigen 

 Curve doppelter Krümmung , für welche die in I entvi'ickelten Formeln 

 gelten. Die in IVB gegebene Ableitung setzt voraus, dass /(w) nicht 

 der Differentialgleichung : 



f[/"W+/(»)J , 



3) ä ^ +-/'(») = 0 



genügen darf, wenn man sich der Gleichungen 2) bedienen will. Findet 

 die Gleichung 3) statt, so sind die Gleichungen 1) zu nehmen. Nach 

 den in I gegebenen Formeln, sind cos/, cosm, und cos« die particulären 

 Integrale der Difl'erentialgleichung 3). Bezeichnen a^^, y^, Zq arbiträre 

 Constanten, so ist in 3) : 



4) — /('^) — XqCo^I-^- t/QCO^m-\-z^cosn. 



Aus der vorstehenden Gleichung folgt, durch Differentiation nach to, 

 — f [w) = cosi -hyo cos^ + ^^Q cos?', 



7 [/"H+/H] = '^ocos«+^o cosß^z^ cosy. 



Die vorstehenden Gleichungen lassen an Stelle der Gleichungen l) 

 ein System treten, welches unmittelbar aus 1) für y'(co) = 0 und durch 

 Vertauschung von x, y, z respective mit x — x^, y — y^^ z — folgt. 



