UNTERSÜCHUNGENÜBER D.F LACHEN MIT PLANEN U.SPHÄRISCHEN ETC. 105 



Die Constanten a;^, y ^, beziehn sich nur auf eine Verlegung des An- 

 fangspunkts der Coordinaten. Man kann also , ohne die Allgemeinheit 

 der Formeln zu verringern , x = d, y ^ = ~ 0 , d. i. nach 4) 



f[io) = 0 nehmen. Findet also für /(to) die Differentialgleichung 3^ 

 statt, so setze man in den Gleichungen 1) /(co) = 0. Die Ebenen des 

 Systems planer Krümmungslinien schneiden sich dann sämmtlich in einem 

 festen Punkte, dem Anfangspunkte der Coordinaten. 



In den Gleichungen 1) sind die Ebenen der planen Krümmungs- 

 linien den Normalebenen einer Curve doppelter Krümmung F parallel. 

 Man kann die bemerkten Ebenen auch den rectificirenden Ebenen einer 

 Curve Fi im Räume parallel nehmen. Es ergeben sich dann sehr ein- 

 fache und symmetrische Gleichungen. Es verdient indessen hierbei her- 

 vorgehoben zu werden , dass diese Vereinfachung nicht für den allge- 

 meinen Fall planer Krümmungslinien stattfindet. In dem allgemeinen 

 Falle werden die Formeln im Gegentheil weitläufiger und dadurch für 

 Anwendungen weniger brauchbar. 



Es seien o^i, 7, die Winkel, welche die Tangente im Punkte 

 der Curve F ^ mit den Coordinatenaxen bildet. Bezeichnet man das 

 Bogenelement der Curve allgemein durch ds so können cr^, ß 

 als Functionen von s^ angesehn werden. 



Man setze: 



5) cos/ sin (0 -j- cos i cos CO — cosor^, cos m sin co -f- cos ^ cos to = cosß^ 



cos n sin co -\- cos v cos y — cos y ^ . 



Auf die rechten Seiten der vorstehenden Gleichungen lassen sich 

 die in I aufgestellten Formeln anwenden, wenn alle dort vorkommenden 

 Quantitäten mit dem Index 1 versehen werden. Unter dieser Voraus- 

 setzung geben die Gleichungen 5) differentiirt : 



COSOfCOS to COS^, cos /i? cos CO cos jU, 



ds = ds., ds == 1 ds , , 



Q 9i ^ Q Qi 



cosrcosto cosj^, 

 — ds = ds^^. 



Mathem. Classe. XXVI. 2. O 



