ÜNTERSUCHUNGEN ÜBER D.FLÄCHEN MIT PLANEN U.SPHÄRISCHEN ETC. 109 



dV . dV . 



20) X = ^cosi//+ Fsin^ , Y — ^smip — Vcosxp. 



Man kann X und Y als Coordinaten eines Punktes einer planen 

 Curve C ansehn, es sei O der Anfangspunkt des Systems der X und Y. 

 Die Gleichungen 2) und 1 2) bestimmen dann dieselbe plane Curve C in 

 beliebig vielen Lagen , wenn die Ebene der Curve sich in einer be- 

 stimmten, gleich zu definirenden Weise fortbewegt. Es seien ij, ^ die 

 Coordinaten eines Punktes 77 einer Curve doppelter Krümmung F. Die 

 Curve jT hat unendlich viele Evoluten, es sei F' eine beliebig gewählte 

 Evolute von F und W der Funkt von F\ welcher dem Punkte II ent- 

 spricht. Es sind dann : 



cos/sinto-J-cosicostü , coswisin co-f- cos^acosco , cos w sin to-}- cos y cos <«, 



die Cosinus der Winkel, welche die Verbindungslinie der Punkte II und 

 n' mit den Coordinatenaxen einschliesst. Die Gleichungen 2) geben 

 folgende Entstehungsweise der durch dieselben analytisch definirten Flächen. 



Theorem. 



In einer Ebene werde eine feste Curve C angenommen und zwei 

 bestimmte zu einander orthogonale Geraden, welche sich in einem Punkte 

 O schneiden. Es sei F eine beliebige Curve doppelter Krümmung, F' 

 eine Evolute von F, ferner seien II und II zwei Punkte von F und F', 

 welche einander entsprechen. Die Curve C bewege sich nun so , dass 

 der Punkt O die Curve F durchläuft, dass die Ebene von C mit der 

 jedesmaligen Normalebene eines Punktes II von F zusammenfällt und 

 eine der beiden festen Geraden in der Ebene von C auf die Verbin- 

 dungslinie der Punkte II und II' zu liegen kommt. Die Curve C erzeugt 

 dann die allgemeinste Fläche, auf welcher sie gleichzeitig Krümmungs- 

 linie und geodätische Curve ist. 



Dieser Satz erfordert eine Modification, wenn sich die Curve F auf 

 einen Punkt reducirt, oder besser, die Ebene von C immer durch einen 

 festen Punkt geht. Ist die Curve F plan , so ist nach IV D die Fläche 

 die Enveloppe einer Rotationsfläche , welche sich so bewegt , dass ihre 

 Axe immer senkrecht zu einer Ebene H bleibt , und ein fester Punkt 



