UNTERSUCHUNGEN ÜBER D.FLÄCHEN MIT PLANEN U.SPHÄRISCHEN ETC. 1 1 9 



von r. Werden bei einer Kegelfläche die Generatricen den Tangenten 

 einer Curve F parallel genommen, so ist die JFläche der Krümmungs- 

 centra wieder eine Kegelfläche , deren Generatricen den rectificirenden 

 Geraden von F parallel sind*). 



In der „Application de l'analyse ä la geometrie" (V. ed. Paris 

 1850) finden sich der Reihe nach folgende von Monge sehr detaillirt 

 ausgeführte üntersvichungen in Beziehung auf die Flächen , für welche 

 eine der Schalen der Krümmungscentra gegeben ist. 



§ XXIII. De la surface courbe dont toutes les normales sont 

 tangentes ä la surface d'une meme sphere. (p. 246 — 286). 



§ XXIV. De la surface courbe dont toutes les normales sont tan- 

 gentes ä une meme surface conique a base arbitraire. (p. 286 — 321). 



§ XXV. De la surface courbe dont toutes les normales sont tan- 

 gentes ä une meme surface developpable quelconque. (p. 322- — 368). 



Die von Monge behandelten Probleme lassen sich in ein Problem 

 zusammenfassen , nämlich in die Bestimmung der Flächen , für welche 

 ein System von Krümmungslinien aus geodätischen Linien besteht. 



Ist eine der Schalen der Krümmungscentra eine developpabele 

 Fläche, so sei dieses mit der Fläche der Fall. In der Gleichung 12) 



verschwindet die linke Seite, da r ^ = oo oder r'\ z=. oo , es ist also 



dr" , ^ dG 



— = 0, also auch -j— = 0. 



*) Die Gleichungen 12) und 15) gebeu, wenn r' — r" constant ist folgendes 



Theorem. 



Ist für eine Fläche in jedem ihrer Punkte die Differenz der Hauptkrümmungs- 

 halbmesser constant , so haben die beiden Flächen der Krümmungscentra überall 

 constantes, negatives Krümmungsmaass. 



Es braucht wohl kaum bemerkt zu werden, dass sich nur besondere Fälle von 

 Flächen von constantem, negativem Krümmungsmaass ergeben können. Nimmt man 

 eine Helikoidfläche , so sind die beiden Flächen der Krümmungscentra wieder Heli- 

 koidflächen. Aus der allgemeinsten Helikoidfläche , für welche die Differenz der 

 Hauptkrümmungshalbmesser constant ist, lassen sich nur zwei besondere Helikoid- 

 flächen von constantem , negativem Krümmungsmaass herleiten , wie eine Rechnung 

 ergiebt, deren Ausführung hier unterbleiben möge. 



