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tische Linien, wie sich schon bei Monge findet. (Analyse, p, 137). 

 Um die anderen Curven zu untersuchen , sollen folgende Bezeichnungen 

 gebraucht werden. Auf der Fläche bestimmt durch die Gleichungen 

 1), entspreche der Krümmungslinie (u) die Curve C ^, der Krümmungs- 

 linie [v] die Curve C'\. Analog mögen auf der Fläche S.,, bestimmt 

 durch die Gleichungen 2) , den Krümmungslinien (u) und {v) der primi- 

 tiven Fläche S die Curven C" ^ und C'\ entsprechen. Zur weiteren 

 Discussion der Curven C\ und C'\ hat man in den Gleichungen 1) 

 entweder u allein . oder v allein variabel zu nehmen. Dasselbe gilt für 

 die Gleichungen 2) in Beziehung auf die Curven C\ und C"^. Wie 

 schon bemerkt sind die Curven C\ und C'\ geodätische Linien auf 8^ 

 und 8^. 



Sollen die Curven C\ und C" ^ zu einander orthogonal sein, so ist 

 =0, wegen der Gleichung 9) sind die Curven C ^ und C'\ dann 

 auch Krümmungslinien. Es giebt die Bedingung = 0 nach 14) 

 dv" 



~ = 0 und umgekehrt. Hieraus schliesst man, dass den Krümmungs- 



linien einer Fläche 8 nur dann auf einer Fläche ihrer Krümmungscentra 

 wieder Krümmungslinien entsprechen können, wenn auf der Fläche 8 

 die betreffenden Curven gleichzeitig geodätische Curven sind. Mit 

 Hülfe der in I aufgestellten Gleichungen lassen sich die Curven C\, C'\, 



und untersuchen. Für die Curven C\ und C'\ bezeichne man 



die in I vorkommenden geometrischen Elemente, soweit dieselben in 

 den Gleichungen 1 ) bis 8) von I enthalten sind, mit dem unteren Index 1 

 und einem oder zwei Accenten. Für die Curve C\ ist dann ds\ das 

 Bogenelement, es sind ferner a ^, ß'^, y ^ die Winkel, welche die Tan- 

 gente zur Curve im Punkte [x ^, j/,, mit den Coordinatenaxen bildet. 

 Die analogen Quantitäten für die Curve Q'\ sind durch ds\ und 

 «"j, y'\ bezeichnet. Für die Curven C, und C'\ auf 8^ sind die 

 in I vorkommenden geometrischen Elemente mit dem unteren Index 2 

 und einem oder zwei Accenten versehn. 



Unter Zuziehung der Gleichungen von II geben die Gleichungen 1) 

 nach u differentiirt: 



