126 ALFRED ENNEPER, 



Zwei dieser Systeme haben die Normalen von zu Tangenten, die 

 Tangenten der beiden anderen Systeme sind den Binormalen der 

 KrümmungMÜnien von /S' parallel. 



Ein weiterer Verfolg der Gleichungen 32) oder 3 3) führt im all- 

 gemeinen Falle zu keinen einfachen Resultaten , nur für plane Krüm- 

 mungslinien ergeben sich einfache Verhältnisse, in den Gleichungen 33) 

 sind dann die rechten Seiten von v unabhängig, da die Binormale einer 

 planen Curve für alle Punkte der Curve dieselbe ist. Substituirt man 

 in die Gleichungen 2) die Werthe von x, z und cosa, cos 6, cosc aus 

 den Gleichungen IV 4 0) und IV 10), ferner den Werth von r" aus 

 IV 43), so ist die Fläche »S^ der Krümmungscentra durch folgende Glei- 

 chungen bestimmt: 



34^ 



£1 



,3?^ cos«-j-w, cosp + 2;„cosy = -r^ 



j72(cos.2cosy-[~cos/sin9))-|-j/2(coSjacos9)-f-cosmsin9)+2;2(cos;'cosy+coswsiny) 



ir+ J sin (g — y)e-g W-\-J 

 ~ dV +l-cos(ö-9>) dV ' 

 aJglcos^siny — cosfcos9))-|-j('2 (cos^sin^ — cosmcosy)-j-2;2(cos«/sin9) — coswcos^) 

 _ „ sin {d - y) , cos(^ y)^ W-\-J 



— -^'^)' — l — cos[Q — g>)'* dV "'"1—008(0-9))'' dV ' 



Für 9 hat man nach IV 2 0) den Differentialquotienten : 

 35) — = - [1 _cos(ö — y)Je2. 



Lässt man in den Gleichungen 34) v oder V allein variiren, so er- 

 hält man mit Hülfe der Gleichung 35) eine Verification des oben aus- 

 gesprochenen Satzes, dass der Punkt (^2'3'2'~2) der Curve C „ der Helix 

 einer Cylinderfläche angehört. 



Man findet : 



