UNTERSUCHUNGEN ÜBERD. FLÄCHEN MITPLANEN U.SPHÄRISCHEN ETC. 131 



von r'. Die Curve C bewege sich nun so, dass der Punkt O die Curve 

 r durchläuft, dass im Punkte II ihre Ebene mit der Normalebene von JT 

 zusammenfällt und eine der beiden festen Geraden in der Ebene von C 

 die Verbindungslinie der Punkte II und II' ist. Die Curve C erzeugt 

 dann die allgemeinste Fläche S, auf welcher C gleichzeitig Krümmungs- 

 linie und geodätische Linie ist. Die Evolute der Curve C erzeugt eine 

 Fläche , welche eine der Flächen der Krümmungscentra von /S ist. 

 Den Krümmungslinien von /S entsprechen auf wieder Krümmungs- 

 linien , dem planen System entspricht wieder ein planes System ; dem 

 nicht planen System entsprechen auf 8^ Curven , deren Tangenten den 

 Tangenten der Curve F parallel sind. Die andere Fläche der Krüm- 

 mungscentra von S ist die developpabele Fläche der Krümmungsaxen 

 der Curve F. Für eine sphärische Curve F ist tiie Fläche eine co- 

 nische Fläche. Ist die Curve F plan, so existirt nur eine Evolute F\ 

 es findet dann für die Flächen >S' und ^S'^ eine ganz ähnliche Erzeugung 

 wie im allgemeinen Falle statt. Die Fläche der Krümmungsaxen geht 

 in eine cylindrische Fläche über, welche auf der Ebene von F senkrecht 

 steht und die Evolute F' enthält. 



Geht die Ebene der Curve C immer durch denselben festen Punkt 

 0, so drehe sich die Ebene um den Punkt O derart, dass sie der Nor- 

 malebene im Punkte II einer Curve doppelter Krümmung F parallel 

 bleibt und eine der beiden festen Geraden die Richtung der Verbin- 

 dungslinie nn' hat. Die eine Fläche der Krümmungscentra wird von 

 der Evolute von C beschrieben, die andere ist eine Kegelfläche, welche 

 den festen Punkt O zur Spitze hat und deren Generatricen den Binor- 

 malen der Curve /"parallel sind. Die Ebene der Curve C kann sich auch 

 um den festen Punkt O so drehn , dass sie den rectificirenden Ebenen 

 einer Curve F^ parallel bleibt , und zwei feste zu einander orthogonale 

 Geraden in der Ebene von C dabei die respectiven Richtungen der 

 Tangenten und Binormalen der Curve F^ annehmen Die Generatricen 

 der developpabeln Fläche der Krümmungscentra sind den rectificirenden 

 Geraden der Curve F^ parallel. 



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