RECHERCHES 

 Ш QUELQUES FOWCTIOi\S NUMÉRIQUES. 



Par V. Bouniakowsky. 



La considération des séries qui procèdent suivant la même puissance des termes suc- 

 cessifs d'une suite formée sous certaines conditions, m'a conduit à une multitude de pro- 

 positions concernant différentes fonctions numériques qui se rapportent en grande partie 

 aux diviseurs des nombres. Je m'occuperai en premier lieu de la série 



= 1 -ч-^-ч-з^н-^н- (1) 



la plus simple du genre de celles dont il s'agit. 



Et d'abord, observons que tout développement procédant suivant les puissances x des 

 termes successifs d'une suite décroissante de fractions a, ß, y... sera toujours unique. La 

 variable x dans ce développement pourra être prise aussi grande qu'il sera nécessaire pour 

 rendre la série convergente, quoique cette condition, par la nature même des procédés dont 

 nous ferons usage, ne soit pas de rigueur. Nous disons donc, que l'égalité 



a H- ôa^ H- cß^ -I- dy^ Ч- = a -h- b'at.^ h- c^^ h- d'y^ h- .... , 



pour X indéterminé, entraine nécessairement les suivantes 



a' = a, b' = b, c'=c, d' = d etc. 



En effet, puisque a<l, ß<l, у<1----5 en faisant x—oo, on a a' = a; divisant 

 ensuite par a'^, on obtient 



faisant de nouveau л; = oo, et observant que ^ • • • • sont inférieurs à l'unité, on a 

 b = et ainsi de suite. 



1. Commençons par chercher le développement de la puissance entière et positive m 

 de la série (1). Faisons 



t\){x)'" = 1 -t- H- ^ '^-H -»- 



^2,m , -3,,« , • . . . 2„ „, étant les coefficiens à déterminer. 

 Soient de plus, par ordre de grandeur, 



1, d,, d,, d3 .... d^_,, D 



Mémoires de l'Acad. Imp. des sciences. Vll-me Série 1 



