2 V. BOUNIÄKOWSKY, 



les [JL diviseurs du nombre D."' En multipliant entre elles les deux séries 



et =14-^-+-^-+- -+-^-+- 



on obtiendra 



ф(х)'" = 1 -Ь -^--+- ф . -H H 1^ -H . 



1 «г.^,-! 



2* 4^ 



et par suite 



Cette équation, comme on va le voir, établit une relation entre la fonction z^^„, et la 

 fonction numérique qui exprime le nombre des diviseurs d'un entier. Nous représenterons 

 cette dernière, relative à l'entier D, par la notation N{D); ainsi iV(12) = 6, car le nombre 

 12 admet les six diviseurs 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Supposons d'abord m — 2 dans la formule 

 (2); nous obtiendrons 



Vi =^ i -«- -<i,.i Ч.1 -*- — Vi « 



et comme on a visiblement 



= 1, Z^„i =1 z„,, = 1 , 



le second membre de l'expression de z„_2 se composera d'autant d'unités que le nombre D 

 admet de diviseurs. Donc 



= iV(D), 



et par conséquent 



W (1 -^вх-^ ) — 1-»- 2-^-^-3 a; -^в^-^ 5 (3) 



formule qui établit une relation très simple entre la série (1) et la fonction numérique iV(D). 

 Posons actuellement w = 3; la formule (2) donnera 



et par suite, en vertu de l'équation z„_2 = Л'(0) , 



