Recherches sur quelques fonctions numériques. 3 



2.,3 = i H- N{d,) -+- N{d,) -H .... Ч- H- N{D). 



On voit par là que г„_з exprime la somme des nombres de diviseurs par rapport à 

 chacun des [x diviseurs 



h d,, d^....d^_^, D 



de l'entier donné D. Désignons, pour abréger, cette nouvelle fonction numérique par la 

 notation iV,(D); on aura 



= 1 -+- N{d,) -H N{d,) H- N{D) = N,{D). (4) 



Soit encore m = 4; la formule (2) donne d'abord 



= 1 -+- Zrf, ,3 H- Ч.З 4,3 -^- 2i„3 , 



et ensuite, en vertu de l'équation (4) , 



zz. 1 H- NM N,{d,) H- iV,(rf3) -H .... -H iV,(D). 

 Représentons cette dernière somme par la notation abrégée NJ^D) ; on aura 



= 1 -b NM H- iV,(d,) -H .... -I- N,{D) = ад. (5) 

 ' De la même manière on obtiendra pour m = 6 



= 1 -+- NM iV2(d2) -b .... -H iV^lD) = іѴз(І)) , (6) 



et en général 



z... = 1 Л^.-з(^,) -H іѴ_з(4) іѴ_з(0) = iV„_,(D). (7) 



Donc, définitivement, la puissance m de la série (1) sera exprimée par la formule 



Ф(хг=(и-^^і+. ..^1,^. . .)»= 1^^ра^%.'^'+. . .-ь^'+. . . (8) 



On observera en même temps que la notation A'_2(-D) qui correspond à l'hypothèse m — 0, 

 doit être visiblement remplacée par zéro, la notation iV_^(D), correspondant au cas de m = i, 

 se réduit à Г unité pour toute valeur de D, et enfin No{D), pour m= 2, revient simple- 

 ment à N{D). 



Pour donner un exemple numérique de la formule (8), supposons qu'on veuille trou- 

 ver le coefficient N^{12) àe dans le développement de la cinquième puissance de la série 

 1 H- ^ p-H . . . . Voici le type détaillé de ce calcul : 



d^=2, d,= 3, ^3=4, d,= 6, D=U, 

 NJ^ = 2, Nd^ = 2, yVdg = 3, Nd^ =4, ND = Q ; 



la formule (4) donne 



