Recherches sur quelques fonctions numériques. 5 



De là on conclut qu'en représentant par la notation JD la somme des diviseurs du nombre 

 D, on aura 



1) = (1-ч-,^-*-р-н^-н ) = 



- 1-н^-ч-|1н-....н-^н-.... (11) 



Les formules (3) et (11) expriment des relations très simples entre la série (1) et les 

 deux fonctions représentées par les caractéristiques N et /. Combinées entre elles , elles 

 donnent entre autres la suivante : 



N2 N3 ІѴ4 w, N2 ІѴЗ M ^ _ /1 /2 /3 ß ч2 



Posons encore m = 2, n= 1, \= 1 dans la même formule (10); nous aurons, en ob- 

 servant que dans cette hypothèse N^^_ID) = N^{D) = N{D) et N^_,ID) = iV_,(D) = 1, 



1) = 1 -« 2^ ^5 • • • -»- — ■ jjx — 



D'un autre côté, en multipliant entre elles les deux séries 



^(хЩсс-І) = 1 -^/|н-{|ч- . . . . -н^^-н .... 

 et ^(x) = 1-4-p-i-^-i- -^В^-*- 



on trouve 



et par suite cette relation entre les deux fonctions N et /: 



N{D)^d^N{f^^d^N[^^)-^....-b-d^_^N{d;)^^ (12) 



Considérons encore le produit ф(ж)ф(ж — 1)^ qui correspond à l'hypothèse m=l, 

 n= 2, X= 1. La formule (10) donne 



ф(^)ф(^_1)^= l^l^^^^l^^, . ^^_^^-^ä,m,-.ä,N^^....^DND_^^ ^ ^ 



Or, le produit des deux séries 



^Шоо-І) = 1 -н^-ч-^І-ч- .... н-^-+- .... 



^+ I /- 1 л 1 2 3 D 



et 1) = 1 -Ь2д;-1-р;-+- 



conduisant au développement 



