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V. BoUNIAKOWSKY, 



oir en conclut immédiatement cette autre relation entre les mêmes fonctions N et / : 



l-i-d^Nd^-i-d^Nd^4-.. ..-^DND=/Ü4-dJ^^4r-djf^~i-. . . (13) 

 Soit entin w — 2, w = 2, X=l; on aura 



,,,,,, , ІѴ2-Н2ІѴ2 Л-Зн-ЗЛ^З ND^d,Ndy^^d^m^N^-^...-^Dm 

 ФИ 1)-= iH 2^ ' W ^ ^ *~ 



D'ailleurs, en vertu de la formule (11), 



^]^[xf^{x-\f == (1 -^g^-^g-^ .... -ч-^^-ь- . ...f= 



= 1 H--^ H-^ -4- .... H- H . . . . 



Donc 



ND-^d^Nd^I\^.^d^M^N§4-....-^DND =у іуЛн-/гі,Д-ь/гі,Д-і-....-ь/0/1. *) (14) 

 En multipliant entre eux les développements de ^{xf^{x — 1) et 4'(x)t{j(a; — 1)^ on trouve 



(1-»-/2-і-/4)->-(1-і-2Л'2ч-4іѴ4)ч-(1-ь/2)(1-і-2іѴ2) 



4 -15 • . • • 



D'un autre côté, puisque 



№H+(._i,]3=(,-.f|H-g-./4^. . . ,f = i^^vf 



on arrive aux identités 



(1-і-/2)-«-(1-ь2іѴ2) = 3/2 

 (lH-/3)-t-(l-f-3A'3) = 3/3 



(l-l-/2-^-/4)-♦-(l-l-2^2-^-4ІV4)^-(l-+-/2)(l-+-2^2) = 3/4-t-2(/2)'' 

 etc. etc. 



Les formules (12), (13) et (14) peuvent être immédiatement étendues au cas où l'on 

 considérerait les sommes des puissances quelconques des diviseurs des nombres. Ainsi, en 

 adoptant la notation 



/{D\ = l^H-d,^-+-d^^-f- .... -^d\_^-^D\ 



X étant un nombre positif ou négatif, entier ou fractionnaire, la formule (14), par exemple, 

 se généraliserait en ces termes: 



l^ ND^ d/. Nd^N^ -4- d/. Nd,ßj H- D^- iVD =r 



= /1 •/(ß)x--/K)x/(^\-/(dA/(^),-*- • • • • -^ÄD\A' (15) 



Cette identité, à la notation près, coïncide avec la formule 

 donnée par 31. Liouville dans le 2-me tome (deuxième série) de son Journal de Mathématiques, an. 1857 (page 427). 



