Recherches sur quelques fonctions numériques. 



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On parviendrait directement à cette relation en faisant d'abord m=l, n=l dans 

 , l'équation (10) qui donne dans ce cas 



ФМФ(.-х) = 1 ^ті^ф^ .... ^гт^ .... 



Le carré de cette série sera 



/b/ (D)x-^/(dJx/(j;)x-*-A^2)x/(| )^-'- . . • • ~^/(Dh/^ 

 H l_ 



D'un autre coté, si l'on pose m=2, n==2 dans la même formule (10), on trouve 



tj^(x)'ф(x— X)2 = 1 H ^ 1 -t- -H 



ND 



l-f-J^A'd, Л# -Hdg^iVdaiYx -«-..•. -ьвѴѵі) 

 ^ ^ "^і ^ ^ , 



et la comparaison des coefficiens de ^ conduit de suite à l'égalité (15). 



Les formules (12) et (13), généralisées, donneraient des résultats analogues. 



Dans le n° 1 nous avons montré la manière dont on effectue le calcul des fonctions 

 iV,(D), etc.-, sans nous arrêter toutefois aux réductions dont leur expression est 



susceptible. Indiquons ici un procédé au moyen duquel on parvient facilement à réduire 

 ces fonctions à des formes plus concises, en ne faisant usage que de la seule caractéri- 

 stique N. Et d'abord, l'expression de iV^(D) est déjà donnée par la formule (4); détermi- 

 nons de même la fonction ]S^{D). Pour cela faisons m=2, n = 2, X — 0 dans l'équ. (10); 

 elle donnera 



2ІѴ2 2m NlND^Nd,N§-^Nd,N§-4-....^mm 



ф(^) =l-+-^-f-^-b....-f- —Ж-" 



La formule (8), en y faisant m = 4:, conduit à 



Donc 



iV2(D)= іѴ(1)ад-нЛѴі)іѵ(^)н-адіѴ(£) -+-... . н-Л'(0)Л'(1). (16) 



On trouverait très facilement les expressions de N,{D) et NJ^D) en cherchant la série 

 qui détermine le produit ^(x)^^{x — Xf^{x — [x)^ de trois facteurs. De cette manière on par- 

 viendrait d'abord à une formule analogue à la formule (10); en y supposant m=2, n = 2, 

 p=ï , X = 0, [л. = 0, le coefficient de exprimé visiblement au moyen de la seule fonc- 

 tion iV, représenterait la fonction N^iD) qui sert de coefficient à ^ dans la formule (8) 

 pour le cas de m =5. L'hypothèse de m = 2, n = 2, p = 2, X=0, ^ = 0 conduirait de la 



