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V. BOUNIAKOWSKY, 



même manière à la valeur de iV^D). La considération du produit des quaire facteurs 

 ^{хУ", ф(х — X)", ^{x — [x)^, — v)^ servirait à déterminer N^{D) et iVg(D), et ainsi de suite. 



S. Passons maintenant à d'autres propriétés de la série 

 1 -1 J_ J_ 



qui découlent d'une proposition générale que nous allons formuler. 



Soient R.... des nombres assujetis à la seule condition d'être premiers entre eux, 

 et â une fonction numérique jouissant de la propriété exprimée par l'équation 



^(P«.()ß.fiV )= Ô{P'')â{Q^)û{R'^) (17) 



a, |3, y.... étant des entiers arbitraires. Si, pour abréger, on suppose pour un moment 



1 



et qu'on désigne par »i, p... >,, [x... des quantités constantes, on obtiendra, en dévelop- 

 pant le produit Ѳ(ж)"'Ѳ(ж — Х)"Ѳ(л;— ji)^. . ,. en série, une identité de la forme 



/СѴ/ \mr^/ лчп/а/ \P i 6(5.) Ѳ(§,) Ѳ(§з) ѲІР^О^ВУ . . .) 



Ѳ(^) Ѳ(Ж —X) е{х—ІУ.)Р... = \-і- -j^! -H -j-i' H- -H ... H- ^paç^ ^y^^^^œ (18) 



dans laquelle 8,, §2? — P^^Q^R^.... représentent, par ordre de grandeur, la suite 



de tous les produits que l'on peut former avec les entiers P, Q, R et leurs puissances 



successives; quant aux numérateurs <9(§i), ^{^2), 6>{bs).... ils désignent des fonctions de 

 leurs dénominateurs respectifs, assujetis à la condition (17); leurs valeurs dépendront, 

 évidemment, d'une manière connue de ces mêmes nombres P, Q, R ainsi que des ex- 

 posants m, n, p — et des quantités X, jx.... Cela posé, si l'on prend le logarithme des 

 deux membres deréqu.(18), on obtiendra, en remplaçant les fonctions Ѳ par leurs valeurs: 



^nwiP -4-pi>!^-H....)._.H f __H....H Ji -^-H. 



/ /^lA Ч 1 m4-nQ'^'^-i-pQ2l^4-.... 1 m-i-nO'^^-i-»0*f^-»-.... 1 



_ ( OJA) ejd^ 0(8^) \ 1(0{д,) 0(^г) . Ѳід;) 



~ ~ " y -^- 



\ '^i'^ ^з^ / 2 ' 



3 l ô,^ ~*~ 



(19) 



Observons actuellement que le premier membre de cette formule ne contient que des termes 

 affectés des différentes puissances de 'л'Щ^-" 



j_ j_ j_ 



pX ^ QX * ]^ • ' • ' y 



