Recherches sur oijElques fonctions numérioues. 

 sans contenir aucun terme composé tel que 



Il doit donc en être de même du second membre de cette formule , et nous serons ainsi 

 conduit aux conclusions suivantes : 



Xliéorème 4» Le coefficient total de tune quelconque des puissances 



de -^j. par exemple, dans le développement 



d,^ ^г"^ • • • • / 2 \ d,^': ~^ д./ ~^ • • • 7 ~^ зѴ ô^r* д./ 



sera égal à 



et le coefficient de tout terme composé tel que 



dans le même développement, sera toujours nul. 

 TIléorème Si dans le développement 



/ 2\ ^і'^ д^"" -^' ' • • ) 3 V 01-^ 5./ 



les coefficients de tous les termes composés tels que 



(/>«Qßi{T...)^ 



sont nuls séparément, la fonction â satisfera à la condition 



^(P«()ßßY ) ^ ѳ{Р'^)Ѳ{о'^)Ѳ{К^) 



Nous verrons, dans ce qui va suivre, que ces deux propositions, combinées avec les 

 formules que nous avons établies plus haut, conduisent à une foule de nouvelles relations 

 entre les fonctions numériques Л', iV, , ІѴ2 . . • / et plusieurs autres. 



JL. Pour première application de la formule (19) et des deux théorèmes que nous ve- 

 nons d'énoncer, considérons l'identité connue 



1 i 



(20) 



dans laquelle le premier membre ne contient que les puissances x des nombres premiers, 

 tandis que le second celles de tous les nombres naturels. Si l'on prend le logarithme de 

 l'équation (8), on trouvera, eu égard à la formule (20), 



Mémoires de l'Acad. Inip, des sciences. VU-me Série. 2 



