Recherches sur quelques fonctions numériques. 



Il 



Ainsi, par exemple, pour p premier et k= 3, on aura par la première propriété 



I = N{p') - Щр)Щр') -^^[N{p)f. 



Si, au contraire, on prend un nombre qui ne soit ni premier, ni une puissance d'un nombre 

 premier, 12 par exemple, le coefficient de dans le second membre sera nul en vertu de 

 la seconde propriété, et l'on aura 



0= N{12) — N{2)N{6)—N3N4.-t-[N{2)fN{3). 



Comme l'expression générale des coefficients dont il vient d'être question est né- 

 cessaire pour le développement du second membre de chacune des formules (19), (21) et 

 (22), nous allons nous occuper de cette détermination; on pourra prendre pour point de 

 départ l'une de ces trois formules indifféremment. Supposons que nous ayons choisi l'identité 

 (22), et commençons, dans cette hypothèse, par la recherche du coefficient de p étant 

 un nombre premier quelconque, et к un exposant entier arbitraire. Pour cela examinons 

 les puissances des polynômes qui entrent dans le second membre de la dite formule. Ob- 

 servons avant tout qu'il n'y a lieu de considérer que les termes affectés des différentes 

 puissances de , telles que Д- , . . . . , et cela seulement jusqu'à ..^ , les autres 

 termes n'ayant aucune influence sur le coefficient cherché. Posons donc 



\ p^a; рлх ■ -+-p^!i-i)xj — pTiX-^ р(пч-1)х-*- p(n-^z)x-^ • • • • pki'*- ■ • • • 



étant le coefficient partiel relatif à la puissance n. Posant — on trouve 



№)-ь-іѴ(р').гч-ЛѴ)-^'-ь-. . .-^N{p^^-')^z^'-'f■=A^-^B^z-^C/чr-. . . -і-М/-"н- . . . 



Or, en employant la notation des aggrégats combinatoires, la valeur du coefficient sera 

 donnée par la formule 



^^^n= ^[J,^^Ш'{m{m■ ' ■ .(/-y] (23) 

 les variables combinatoires a, h, c, . . . I devant satisfaire aux deux conditions 



a-H b -H с -H . . . . -t- [ =: n \ ^ ^ 



} (24 

 6-+-2c-i-3bH- -^(k— 2)1= k — n; i 



la notation nf qui entre dans la formule (23) désigne la factorielle 1-2 -3...»* qui, pour 

 n~ 0, doit être remplacée par 1, de sorte que 0! = 1. On remarquera aussi que le coeffi- 

 cient Jf^ se réduit à ]S{p'') pour n= 1, et à {Npf pour n = k, de sorte que 



31^ = Л'(/) et = {Npf. 



