Recherches sur ouelques fonctions numérioues. 



13 



sera également représentée par la suivante : 



а,Ь,а\Ь\а%....аЧК.. 

 Cela posé, en observant que par la propriété de la fonction N on a 

 N{a4'^c'^ ) = N(a'-)N{b^)N(c'() , 



on obtient l'identité 



y-^^x-^-^x-^ 1^ ^ ~*~ 6* ^ 6ß*j • • • • — 



, Na m Na^ Nb^ ЩаЧ) Ща Ч? ...) 



— ^ 6 * — -^ä^^-^b^^-+- — — (T«6Pt:ô* ' 



de laquelle on tire 



Kl Na Na^ Na^\ ( ^ Nb Nb"^ Nb?>\ ,"1" 



1 H-^X-b-„-2äH- . . . . (1 .... H- ^ß-,) . . . . — Ij =: 



rNa m Na^ Nb"^ ЩаЧ) iV(a«6l^ . ■ ■ 



~ la^~*~ b^~^ â^x -+- -^^^Щх-^ • • • • -*-(aa6ß...)^J ' 



Cette formule, combinée avec la solution relative au premier cas, résout complètement 

 notre question. En effet, comme le développement de son premier membre donne 



Nb Nb?y 

 y^-y- -^bfx 



( 



аях) y 



-ах) (^І . . . . -4-j-ßäj ... 



7Vaa\"— 2/ Nb :^^^\'*~'^ 

 actx) [^-^b^-^ "*~6ß^; 



, IN« /i Na / -1 Nb?\ , , 



— (— 1) n(^l -+--^^ -t- -+-^Д1 -Hp,-b ^^ß^j . . 1) , (2b) 



on cherchera séparément dans chacun de ces termes, au moyen des formules (23) et (24), 

 les coefficients de a°''^, 6^^,.., Substituant ensuite ces coefficients partiels dans l'expression 

 (26), on aura la valeur cherchée du coefficient total de ^ relatif à la puissance n. 



Supposons, par exemple, D=36 = 2'"-3^; en effectuant les calculs qui viennent 

 d'être indiqués, et conservant la notation employée pour le premier cas, on trouve 



= {N2f{mf-\-2{mfN2"'-+-2{N2fm^-h-2N2^- ^3' = 82 

 3/3 = ЗЛ^2^(іѴЗ)'-*-3(ІѴ2)'іѴЗ'н-6(Л^2)'(^3)^ =168 

 M^= 6{N2f{N3f = 96 

 ifg=0, M^ = 0 etc. 



