Recherches sur quelques fonctions numériques. 



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Le premier membre ne contient dans ses dénominateurs que les puissances multiples de x 

 des nombres premiers; donc, les coefficients des termes dont les dénominateurs ne sont 

 pas de telles puissances, sont nuls, et quant à leurs formes, elles seront identiques avec 

 celles que nous avons trouvées quand on aura changé la caractéristique iV en y? De plus, 

 l'inspection de la dernière formule montre que le coefficient de , p étant un nombre pre- 

 mier et к un entier positif quelconque, est égal à ^-jf-' Ainsi, en changeant iV en et rem- 

 plaçant la fraction -|- qui se rapporte à la fonction N par ^-y^ dans l'égalité 



trouvée plus haut, on sera conduit à l'identité suivante : 



Si l'on traite la formule (10) comme on vient de le faire à l'égard de la formule (8), 

 on trouvera plusieurs nouvelles identités. Pour en donner un exemple, prenons la formule 

 du n" 2 



1-1-/^1-4-/^2-1-. ...4-fD 



2^ 



qui nous a servi à établir la relation (12). En en prenant le logarithme, et en faisant pour 

 abréger 



on aura 



21og^(a;)-f-log^(^— 1) = log(l 



^/2 

 2X 



S/3 



ou bien 



2h-2 J_ 

 1 '2^ 



2 ' 2^ 



2-4-3 2-4-32 1 



1 * S'^"*" 2 * 32^' 



2-ь2^ J_ 

 к ' 



2-1-3^' 1 

 A: * ' 



— /^/2 , 2/3 

 — \ 2^ 3^ ' 



J_/S/2 

 2 l 2^^ 



S/3 

 3^ ■ 



S /D 



J_/2/2 S/3 

 ТІ 2^""*" 3« ■ 



Donc, si p est premier, on aura cette suite d'identités 

 2-f-p = 2/p 



2-4-p3 



