16 V. BOUNIAKOWSKT, 



Si l'on suppose Б différent d'un nombre premier ou d'une puissance d'un tel nombre, 

 on devra avoir comme plus haut 



0 = М—^М,-л-^М — 



1 J i Ö 3 



En appHquant ce que nous venons de dire au nombre D = 36 — 2^-3^, et en observant que 



2/2 = 4, 2/3=5, 2/2'= 11, 2/3'= 18, 2/36 = 198, 

 on aura, en changeant dans les formules précédentes N ou /en 2/, 



M^==\d8, J/^= 1922, #3= 4089, Лі, = 2400. 

 Donc, on devra avoir 



0 = 198 — - 1922 -+-4- 4089—^-2400, 

 ce qui en effet est exact. 



De ce que la fonction 2 JD satisfait à l'équation 



0 = M -\m^_^\m 



nous concluons, en vertu du â'™^ Théorème^ qu'elle jouit aussi de la propriété (17). 



Appliquons encore nos formules à la fonction bien connue 



= <^{fqK\ ...) = f-'q^-'r-^-'.. .(p_l)(g_l)(r— 1). . . 



qui exprime combien il y a de nombres inférieurs à D =p''q^r^.... et en môme temps pre- 

 miers àD. Cette fonction remarquable satisfaisant, comme les fonctions N, , N^..../, 2/5 

 à la condition (17), les conséquences de la formule (19) peuvent lui être appliquées. Com- 

 mençons par établir la relation suivante entre les trois fonctions iV, /et 9, remarquable 

 par sa simplicité : 



2^ 3^ 4^ •••• _ ф(2) ф(3) _^ Ф(4) _^ .r,7\ 



.V2 ІѴЗ .V4 — -l 2* 3* 4« • • • • ' ^"^'^ 



^~*"2X ]^ '*~ 



et par suite 



JD = o(D)^Nd,.[f^ym^cf{^-y. . ..-^Nd^_,<?[^yND, (28) 



1, (/^, d^,....d^_^, D représentant, comme plus haut, les diviseurs de D. Ainsi, par 

 exemple, pour D= 18, on aura 



/18 = ф(18)-ч-іѴ2.ф(9)-ь-7ѴЗ-ф(С)-+-іѴ6.ф(3)-і-^9-ф(2)-і-7Ѵ;8 = 39. 



La relation (27) se démontre très facilement en s'appuyant sur le f Théorème (n° 3). Et 

 d'abord observons que puisque la fonction ф satisfait à la condition 



Ф(р«г/г^...) = ф(Лч>^)фИ.... 



