Recherches sur oi'Elques fonctions numériques. 17 



c. à d. à l'équ. (17), le coefficient de i) étant composé et différent d'une puissance 

 d'un nombre premier, sera nul dans le développement 



\ _1_/ф(2) <pi3] _^ ф(4) 



/ 2 l 2* З'^ 



/ср(2) cp(3) ф(4) 

 l 2^ 3« é'^ 



Y 1 /ф(2) ф(3) <p(4_) n3 



~^ 3 V 2* 3^ 4* ; 



Soit, dans ce même développement, l'expression générale du coefficient de , p étant 

 un nombre premier. Nous aurons la formule 



К 



2,1 2^ 



1 



1 , ^2,2 1 



Й3^2 J_ 



2 '32- 



2 



^2,/ 1 



'fs,/ 1 



= log(l-b5-'^?Si 



/Ф(2) 



'Ф(2) ф(3) 



з^ : 



1 /Ф(2) Ф(3) 



2 \ 2* З^ ' 



1 /Ф(2) , Ф(3) 

 3 V 2* ~^ за; " 



(29) 



11 s'agit actuellement de trouver la valeur de К^^^; or, en faisant un calcul très simple, 

 on trouve 



= ф(р')-|ф(р)' = Мр-1)-|(/'-1)' 



p2— 2 

 2 



V.3 



ф(р')— ф(р)?(/>')-»-тФ(Р)' = /'''(Р— Op(/>— 1)- 



1/ ■|^3 P^*-! 



et en général 



La comparaison de cette valeur du coefficient avec celle du terme général 



m -^- nl^''^ pQ''^ ... qui entre dans le premier membre de la formule (19), nous con- 

 duit de suite au résultat cherché; on trouve de cette manière que le premier membre de 

 l'équation (29) résulte du développement en série de l'expression 



Mémoires de l'Acad. Imp. des sciences. Yll-me Série. 3 



