18 V. ВоиЛЧАКО\Ѵ8КУ, 



Donc on aura l'identité 



ф(ж-1) _ Mx)Mx-l) _ ,__^ФІ^_^<Р(3)_^?І4)_^ ,^f.. 

 ф(ж) ~ [ф(а;)]2 '2^ ЗЖ -^- 4Ж --»-••• • {ОУІ) 



qui coincide visiblement avec la relation (27) en vertu des formules (3) et (11). 

 L'équation (30) mise sous la forme 



,23 D ,,11 1 ф(2) ф(3) talD) 



î ^ 3 г . . . . -^- H- . . . . = ( 1 2î- H- p -^- . . . . H- H- . . . . ) ( 1 H- ^ H- -H . . . . 



conduit directement à l'identité 



1 H- 9(d^) H- 9(d^) -H H- 9(dj,_,) H- 9(D) = Б. 



Cette dernière relation exprime un théorème bien connu de Gauss, auquel l'illustre géo- 

 mètre est parvenu par une autre voie dans ses Dèquisitiones arithmettcae (n° 39). 



Sans nous arrêter à d'autres conséquences qu'on pourrait tirer de la relation (27), 

 nous nous contenterons d'indiquer encore une identité curieuse entre les fonctions 9(D) et 

 2 J D , exprimée par la formule 



qui, en y introduisant la fonction , prend la forme 



i^-¥--^i-2gH-....=,i-.^'^M)^5^4.....,(i-.S'-.f-^f^....). (31) 



Cette dernière conduit de suite à l'identité 



2fD = (p(D)-+-iV,d,.9(J-)-biV,d^.9(£)-*-. . . .-HiV^D. . (32) 



La relation (31) s'obtient très simplement en se fondant sur la forme des coefficients 

 de pour les fonctions 2 /'D, iV/D) et ©(D). 



8. Les procédés que nous venons de déveb^pper s'appliquent facilement à la dé- 

 monstration de quelques identités obtenues par M. Lwuville, et nommément à celles qui 

 sont relatives à l'espèce de fonctions numériques considérées dans notre Mémoire. Ce cé- 

 lèbre géomètre, dans une suite d'articles insérés dans son. lournal de Mathématiques, adonné 

 de nombreuses formules, pour la plupart très remarquables par leur généralité et leur élé- 

 gance. A ma connaissance il n'a pas encore publié les méthodes générales qu'il a suivies 

 pour établir plusieurs de ces formules; l'exposition de ces méthodes intéresserait beau- 

 coup les amateurs de la Théorie des nombres. 



Pour montrer comment notre procédé s'applique à la démonstration de ces sortes de 

 relations entre des fonctions numériques de l'éspèce de celles dont il s'agit dans nos re- 

 cherches, prenons pour exemple les deux identités 



