Recherches siîr quelques fonctions numériques. 19 



2:^(d)cp(8) = rr,Z^_^(m) et ^йП,{Ь) = 2d\(b) , 



posées par M. Liouville dans son quatrième article sur quelques fonctions numériques*). La pre- 

 mière, d'après nos notations, revient à 



9(D)-H/(d,,)^9(^) -H/(.g^9(^) -H . . . . -b/(D)^ = Df[D)^_, ' (33) 



Or, pour former le premier membre de cette équation, il faut avoir deux séries de la 

 nature de celles qui sont considérées dans ce Mémoire, l'une avec des numérateurs con- 

 tenant la fonction /{D)^ et l'autre, la fonction 9. La première s'obtient en posant m= 1, 

 n= 1, et en changeant X en dans la formule (10) qui donne alors 



И-) = 1 -Ь -gï^ 



La seconde série, c'est l'équ. (30), c. à d. 



Mx-l) _ , _^ ф(2) ф(3) ц>(П) 



— 1 ^ -»- "з^- .-Ь 



Le produit de ces deux formules donne 



ф(2)-ь/(2)^ Ф(D)-+-/(d.)^л9(^)-ь/(<І2)(,.ф(|J-н....+/(Z))^ 



1)ф(а;— [j.) 1 H 2^ — ^н- H ßsr^ ' »- 



D'un autre côté l'on a 



г\,{х—1Щх—\і)= (1-і-2^-НрН-....-и^^н-....)(1-+-2а-*-з*-ь---Н-дх^---) 



= 1-Н ^ -Ь....Н H.... 



Ainsi, le coefficient de ^ sera 



Donc, en comparant les deux expressions du coefficient de ^ on obtient la relation (33). 



La seconde identité, en remplaçant les notations de M. Liouville par celles que nous 

 avons employées, se présentera sous la forme 



On la démontre avec la même facilité; en effet, formant le produit des deux séries 



*) Journal de Mathématiques, 2-ème série, t. 2, 1857, pages 427 et 428. 



