Recherches sur quelques fonctions numériques. 



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qu'on obtient avec beaucoup de facilité à l'aide des mêmes principes. Nous passons de 

 suite à d'autres résultats, fournis par la considération des séries de même nature que 

 celle dont nous avons fait usage jusqu'ici, mais plus générales. Ainsi, dans ce qui va 

 suivre, au lieu de prendre pour point de départ la série 



л ± ± ±_ 



qui est la plus simple de toutes, nous en considérerons d'autres, plus compliquées en ce 

 que les dénominateurs de leurs termes successifs forment des suites différentes de celle 

 des nombres naturels. 



lO. Commençons par transformer les deux membres de l'identité connue 



l-a; l—x" • • • • l—x-n-i 



= xNl H- x'NS H- af'Nb H- .... -h x"N{2n — \) ч- . . . . (35) 



en séries du genre de celles que nous avons considérées plus haut. Soit jc — e~'^; le terme 

 général du premier membre de cette formule se réduira à 



Multiplions cette égalité par ф^~'і/9, p étant une quantité positive, et intégrons le résultat 

 entre les limites ф = 0 et ф^н-сю; on obtiendra une suite d'intégrales eulériennes de 

 la 2^^ espèce qui donneront 



J i_e-(w-i)(p — A iP)|_„p -+- (Sn-l}P (5n-2)P ' • • J" 



0 



De la même manière si l'on change x en e"^ dans le terme général x'^N{2n — 1), qu'on 

 le multiplie par (p^~'d(f), et qu'on l'intègre ensuite entre les mêmes limites, il viendra 



(іѴ(2п~1)е-"'РсрР-'(/ф r= iV(2«— 1)-Г(р)-^^р. 



0 



Enfin, en étendant chacun des deux résultats trouvés à toutes les valeurs positives et en- 

 tières de n, depuis n — \ jusqu'à n = oo, et effaçant le facteur commun Г(р) , on aura 

 la formule : 



^mn-i) _ i . i _j ) 



^ nP ~~ ^ InP (Sn-l)P ^ (5n-2)P {7w-3)P /• ^^^1 



De même, en partant de l'identité 



