RECHEiCHES SUR QUELOIES FONCTIONS NUMÉRIOUES. 23 



Substituant ces expressions dans le dernier développement, ët remplaçant par x, nous 

 arriverons précisément à la formule (39). 



L'égalité (40) s'obtient tout-à-fait de la même manière par la combinaison de l'équ. 

 (37) avec ridentité 



жу'1 x'f2 H- /Ъ H- .... -H (m) 



En opérant sur les deux membres des développements (313) et (40) comme on vient 

 de le faire à l'égard de l'identité (35), on trouvera les deux formules suivantes : 



\°°iiV(2n) /, 1 1 1 \ 2 1 П 



I I 



2/-ПГ ^ ( 1 2P p ГР • • • • ) 2 L(-^=Typ (2^pJ- ^^-^^ 



I 1 



ti. Déduisons maintenant quelques conséquences de ces quatre formules (36), (38), 

 (41) et (42). Et d'abord, en prenant la somme et la différence des équations (36) et (38), 

 on aura les deux identités 



(43) 



^/(2n-l)-biV(2n-l) _ г 1_ _1 _J -li 



^ — -^^i L п9 ^ (3n-l)P ^ (5м-2)Р ^ ■ • • J 1 



1 1 



^/( 2»-.l)-iV(2n- l) _ g-ytr 1 . ■ „!___, 1 . "Il 



^ nP ~ 1 Le^-bl)? (3ri-+-2)P ^(5rn-3)P ■ ■ • • J ) 



1 I 



et la combinaison de la formule (41) avec (42) donnera la suivante 



-уГЗ(2п-1) 2-2n-| X^ iV(2n) _ X^ Г _ 2 ^ f {2n) 



^L(2«-1)P (2n)pJ'^ /iP "~ ^L(2n-l)P ^ (2n)pJ"^ nP • 

 I 11 I 



Le développement des seconds membres des formules (43) conduit aux valeurs suc- 

 cessives de la somme et de la différence f{2n — l)±iV(2n — 1), et la formule (44) établit 

 une relation entre les fonctions iV et y pour des valeurs paires de la variable numérique 2n. 



Les identités du n° précédent vont nous servir encore à établir quelques relations cu- 

 rieuses entre les fonctions iV, y et une nouvelle fonction Ë[z), par laquelle on désigne ordi- 

 nairement V entier par défaut compris dans г, de sorte que £(^|)=2, ^(5)= 3, etc. 



Proposons nous, par exemple, d'exprimer la somme 



Л'1 -л-NЪ-^NЪ-^- H-.V(2ii.— 1) 



