Recherches suk ol'elques fonctions numériques. 



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, on aura définitivement la 

 formule suivante : 



Л(1)н-Л(3)-+-ІѴ(5)-і-іѴ(7) H- ^-f-iV(2ix— 1) = 



,^E(^il)^E(^)^E['^)-.....^E[<^). (45) 



Soit, par exemple, ij.= 14; cette formule donnera 



1^2-ь2-н2-+-Зн-2-»-2-+-4-н2-«-2-і-4-і-2-+-3-н4 = 



= 14-+-5H-3H-2-i-2-t-lH-l-f-l-i-l-Hl-4-l-t-lH-i-Hl , 



ce qui est exact, la valeur commune de ces deux sommes étant 35. 



Faisons voir maintenant que le second membre de la formule (45) peut être simplifié. 

 Supposons qu'en rétrogradant, et à partir de son dernier terme, on représente par le 

 nombre de ceux d'entre eux qui se réduisent à 1, par z.^ celui des suivants, allant toujours 

 de la droite vers la gauche, qui se réduisent à 2, par celui des termes qui se réduisent 

 à 3, et ainsi de suite. 11 est facile de voir que devra être déterminé par la condition 



[X-|-(tX— Zt) „ 



le cas de l'égalité étant expressément exclu. De là on tirera 



et comme — г, est entier, et que de plus l'égalité entre les deux membres ne doit pas 

 avoir lieu, on aura nécessairement 



et enfin 



Pour avoir z.^ , c'est-à-dire le nombre de termes du second membre de la formule 

 (45) qui se réduisent à 2, on verra, avec un peu d'attention, qu'il faudra poser ^ 



en excluant de nouveau l'égalité. De là 



^ |JL— 3 



ce qui donne, en se conformant à l'observation qui vient d'être faite, 



Mémoires de l'Acad. Ішр. des sciences. ѴІІ-ше Série. 



