Recherches sur quelques fonctions numériques. 



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Le second membre de la formule (46) est plus simple que celui de 1 equ. (45), car il 

 se compose de v -i- 1 = /i^^^^j h- 1 termes, tandis que celui de la seconde en contient 

 un plus grand nombre, et nommément p. termes. Ainsi, dans l'exemple numérique 14 

 considéré plus haut, nous avons trouvé, par la formule (45), quatorze termes^ taudis que la 

 formule (4Gj n'eu contient que 



ces six termes sont 



14-»- 13-I-4-I-2-I- 1 -»- 1 = 35. 



Si, dans la formule (46), on change [x en [x — 1, et qu'on retranche le résultat trouvé 

 de l'équ. (46), on aura la valeur de A'(2|jl — 1) exprimée au moyen de la fonction E. On 

 trouvera de cette manière 



Quand le nombre 2^ — 1 =p est premier, iV(2ii — 1) = Nip) = 2. Donc, dans ce cas, 

 chaque difîérence comprise entre les parenthèses carrées se réduira à zéro; on tirera donc 

 ce caractère distinctif des nombres premiers : 



X étant un entier positif, prenant successivement, comme il est facile de le voir, toutes les 

 valeurs depuis > = 2 jusqu'à X = E (^^y^ j • 



Cette égalité n'aura plus lieu en général, c. à d. pour toute valeur de X, lorsqu'on y 

 remplacera p par un nombre composé quelconque ou par une puissance d'un nombre pre- 

 mier. Si 2^1. — 1 est égal à il n'y aura dans l'expression (48) qu'une seule différence 

 égale à l'unité; si 2jjl — 1 = p^, il y en aura deux qui se réduiront à l'unité, et ainsi de suite. 



La formule (48) peut être appliquée au cas où l'on chercherait la fonction N d'un 

 nombre pmr. En effet, soit 2\2[x — 1) le nombre pair donné; comme l'on a 



■ 7V[2\2p.— 1)] = 7V(2^)iV(2tt— 1) = (X-»-l)iV(2ii— 1), 



il n'y aura, pour avoir l'expression de N[2\2\}. — 1)], qu'à multiplier par Х-нІ le second 

 membre de la formule (48). 



Si l'on prend pour point de départ la formule (38), et qu'on opère sur elle comme ou 

 l'a fait à l'égard de l'identité (36), ou obtiendra 



