Recherches sur quelques fonctions numériques. 29 



on obtiendra, en retranchant la seconde inégalité de la première, et toute réduction faite, 



/(2^1-1) < '^'^:^'. (52) 



Quant à la limite inférieure, elle est évidemment égale à 2ijl, 2[jl — 1 pouvant être un 

 nombre premier. 



13. Voyons encore comment, par des transformations successives, on parvient à des 

 formules analogues à celles que nous avons établies dans les n°* précédents. Reprenons 

 l'identité (37) 



H- ; -H :j -. -H.... =х \-\-х б-^х Ъ-^..... 



\—x \—x^ \—x- J J J 1 



et transformons son premier membre. Ou aura d'abord cette suite de développements : 



1 ■> 3 

 =1-+- Ж-Н X' -\- X -+-... . 



1 — X 



■ , = Sx Sx • x^ -t- 'Sx • x^' -t- Sx • x^ 



ï — x* 



= ôx^ -+- 6x^- x" -+- bx'^- л'" -+- 5x'^-x^^ H- . . . . 



1 — x^ 



^,= 7x'-i- Ix'.x' 7x'.x'' H- Ix'.x'' -b . . . . 



l—x^ 



qui pourront être présentés ainsi qu'il suit: 



Il 2 3 



7 =1-1- X X -+- X 



1 X 



, „ = Sx -t- Sx-x^-i~ Sx'-x^ ■+- Sx^-x^ 



1 — x^ 



5x^ 

 l — x' 



5ж'-ь 5x •x'^ Ч- 5x^-x^° -+- 5x^-x^'' 



^ = _H lx.x^^lx^.x'''-^lx^-х'' 



1 — ж' 



Considérons actuellement les séries qui forment les colonnes verticales; elles rentrent 

 toutes dans la formule 



a;°'(l -4- Зж^ -H bx^^ h- Ix^^ h- ) 



en donnant successivement à a et S les valeurs suivantes: pour la 'première colonne 

 a = 0 , 8=1; pour la seconde a = 1 , S = 3 ; pour la troisième a = 2 , S = 5, et ainsi 

 de suite. Or, comme l'on a 



